在劳动仲裁中，如果公司拒绝调解，后续并非直接由公司或员工上诉，而是根据仲裁结果来决定接下来的法律程序。 具体来说，有以下几种情况：

1. 如果劳动仲裁裁决作出后，双方均未在法定期限内提起诉讼：

   • 那么该仲裁裁决即发生法律效力，双方应当履行裁决内容。此时，不存在上诉的问题，而是执行裁决的问题。如果一方不履行，另一方可以向法院申请强制执行。

2. 如果劳动仲裁裁决作出后，公司或员工中的一方或双方对裁决结果不服：

   • 根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》的相关规定，他们可以在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。这意味着，无论是公司还是员工，只要对裁决结果不满，都有权在法定期限内向法院提起诉讼，而不是特定由公司或员工上诉。
   • 提起诉讼后，案件将进入诉讼程序，由法院进行审理并作出判决。如果判决与仲裁裁决不同，那么判决将取代仲裁裁决的效力。

3. 关于上诉的特别说明：

   • 在劳动仲裁的语境下，我们通常不说“上诉”，而是说“提起诉讼”。因为劳动仲裁并非诉讼程序，而是劳动争议处理的一种前置程序。只有当对仲裁裁决不服时，才会进入诉讼程序。
   • 如果案件已经进入诉讼程序，并且一方对一审判决不服，那么他们可以在法定期限内向上一级法院提起上诉。但这是在诉讼程序中的上诉，与劳动仲裁后的提起诉讼是不同的阶段。

建议：

• 在劳动仲裁过程中，如果公司拒绝调解，员工应当做好进入诉讼程序的准备，包括收集证据、准备诉讼材料等。
• 如果对仲裁裁决结果不满，无论是公司还是员工，都应当在法定期限内及时向法院提起诉讼，以维护自己的合法权益。
• 在整个过程中，建议咨询专业律师以获取更具体的法律建议和指导，确保自己的权益得到充分保障。

如果有任何关于劳动仲裁或诉讼的具体问题，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律解答。