结论：培训老师签订的合作协议是否可以申请劳动仲裁，关键在于判断该协议的性质及纠纷是否属于劳动争议范畴。若协议涉及劳动权利和义务，则通常属于劳动争议，可申请劳动仲裁；若协议为民事合同，独立于劳动关系之外，则应通过民事诉讼等其他途径解决。

详细分析：

1. 属于劳动争议范畴的情况：

   • 培训费用的承担与返还：如果合作协议是用人单位（如培训机构）与培训老师（作为劳动者）之间签订的，且协议中约定了用人单位为培训老师提供专项培训费用，并设定了服务期，那么当培训老师违反服务期约定时，涉及培训费用的赔偿问题就属于劳动争议。例如，培训机构支付高额培训费用送培训老师参加专业培训，并约定一定年限的服务期，若培训老师提前离职，培训机构有权要求返还部分或全部培训费用，此时培训机构可以申请劳动仲裁。
   • 培训期间的工资待遇：若合作协议中明确约定了培训老师在培训期间的工资、奖金、福利待遇等，而用人单位未按照约定支付，培训老师有权申请劳动仲裁以维护自身权益。
   • 培训后的工作安排与调整：如果合作协议中约定了培训老师培训后的工作岗位、职责等，而用人单位擅自调整，这种涉及劳动权益的纠纷同样可以通过劳动仲裁处理。

2. 不属于劳动争议范畴的情况：

   • 如果合作协议并非用人单位与培训老师（作为劳动者）之间签订，而是由培训机构（作为民事主体）与培训老师（可能以独立承包人或合作方的身份）签订的独立民事合同，如社会上的商业培训合作协议，这种纠纷就不属于劳动争议。此时，如果发生纠纷，应通过民事诉讼等其他途径解决，而不能申请劳动仲裁。

综合考虑因素：

• 合同主体：劳动仲裁适用于用人单位与劳动者之间的争议，因此需确认合作协议的主体是否为劳动关系双方。如果培训老师是以劳动者的身份与用人单位签订协议，则可能适用劳动仲裁；如果培训老师是以独立承包人或合作方的身份签订协议，则可能不适用。
• 合同性质：基于劳动关系的合作协议适用劳动仲裁，而独立的民事合作协议则不适用。这需要根据协议的具体内容来判断，如协议中是否涉及劳动权利和义务、是否设定了服务期等。
• 合同约定：若合作协议中明确约定了仲裁条款，且仲裁机构具有合法资格，则应按照约定进行仲裁。但需注意，该约定不能违反法律法规的强制性规定。

建议： 在面临培训老师签订的合作协议纠纷时，首先应判断协议的性质及纠纷是否属于劳动争议范畴。若属于劳动争议，可依法申请劳动仲裁；若不属于，则应通过民事诉讼等其他途径解决。如果你对此有疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供针对性的法律建议。