结论：执行过程中申请追加继承人为被执行人被法院驳回后，一般不能再直接对继承人提起诉讼要求其承担被执行人的债务责任，但存在例外情况，即如果符合相关条件，可以通过另行起诉继承人主张相应权利。以下从不同角度进行分析：

一般情况：驳回后不能直接再诉继承人承担债务责任

在执行程序中申请追加继承人为被执行人，法院驳回该申请，通常意味着从执行程序的角度，认为继承人目前不符合被追加为被执行人的法定条件。此时，若直接对继承人提起诉讼要求其承担原被执行人的债务责任，缺乏直接的法律依据和程序衔接。因为执行程序中的追加被执行人有着严格的法定标准和程序要求，法院驳回申请表明在现有证据和法律框架下，继承人无需在执行程序中直接承担债务。例如，若继承人已经明确放弃继承遗产，或者现有证据无法证明继承人继承了遗产，那么法院会驳回追加申请，这种情况下直接起诉继承人要求其承担债务，法院一般不会支持。

例外情况：符合条件可另行起诉继承人主张权利

虽然一般情况下不能直接起诉继承人承担债务责任，但如果存在以下情形，可以通过另行起诉继承人主张相应权利：

1. 发现新证据证明继承人继承了遗产：如果在执行程序中被驳回追加申请后，又发现了新的证据，能够证明继承人确实继承了被执行人的遗产，那么可以以该新证据为基础，另行向法院提起诉讼，要求继承人在继承遗产的范围内承担债务责任。例如，原本在执行程序中因无法找到继承人继承遗产的直接证据而被驳回申请，之后发现了继承人转移、隐匿遗产的线索，或者找到了继承人实际占有、使用遗产的相关证据，这些都可以作为新证据提起诉讼。
2. 继承人存在侵害债权人利益的行为：若继承人存在故意隐匿、转移、变卖遗产等行为，导致债权人的债权无法实现，债权人可以在掌握相关证据后，向法院提起诉讼，要求继承人在因其侵害行为导致债权人损失的范围内承担赔偿责任。比如，继承人在被执行人死亡后，迅速将名下的房产过户到他人名下，以逃避债务，债权人发现该行为后，可以起诉继承人要求其赔偿相应损失。

法律建议

1. 收集证据：如果打算另行起诉继承人，要尽可能收集能够证明继承人继承遗产或者存在侵害债权人利益行为的证据，如遗产清单、财产转移记录、证人证言等。证据的充分性和合法性是胜诉的关键。
2. 咨询专业律师：由于涉及复杂的法律关系和诉讼程序，建议及时向我咨询，我会根据具体情况为你制定合适的诉讼策略，帮助你维护合法权益。

在处理这类案件时，需要综合考虑各种因素，依据相关法律法规和司法实践，谨慎选择诉讼途径和策略。如果你有进一步的疑问或需要具体的法律帮助，可以直接向我咨询。