结论：公司10个月未签合同，10个月后补签，您有权要求公司支付未签合同期间的双倍工资差额（部分情形下可能不支持全部月份），同时可要求补签书面合同。以下为具体分析：
一、法律背景与核心规定
根据《劳动合同法》第八十二条及《劳动合同法实施条例》第六条、第七条：
- 未签合同的双倍工资责任：用人单位自用工之日起超过1个月不满1年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付2倍的工资（扣除已支付部分）。
- 补签合同的效力：若用人单位在用工之日起1年内与劳动者补签书面劳动合同，且劳动者同意的，双倍工资差额的支付期限通常计算至补签前一日（但需以“倒签”为前提，即合同起始日期补签至实际用工日）。
二、您的具体权利与操作建议
1. 可主张双倍工资差额的情形
- 若公司未补签或补签时合同起始日期晚于实际用工日：您有权要求公司支付从用工满1个月次日起至补签前一日的双倍工资差额（最多11个月，但您已工作10个月，故最多主张9个月差额）。
- 计算公式：双倍工资差额 = 月工资 × 未签合同月数（如月工资5000元，则差额为5000×9=45000元）。
- 若公司补签时合同起始日期倒签至实际用工日：部分地区法院可能认为补签行为视为双方对未签合同期间的认可，从而不支持双倍工资差额（但需以您自愿同意为前提）。若您被迫倒签，仍可主张权利。
2. 必须要求补签书面合同
- 即使公司同意支付双倍工资差额，您仍有权要求补签书面劳动合同，以明确劳动关系权利义务（如工资、岗位、期限等），避免后续纠纷。
3. 仲裁时效限制
- 双倍工资差额属于“惩罚性赔偿”，仲裁时效为1年，自您知道或应当知道权利被侵害之日起计算（通常为未签合同满1个月次日起算）。建议您尽快主张权利，避免超期。
三、可能的风险与应对
- 公司拒绝支付或补签：您可向当地劳动监察大队投诉，或直接申请劳动仲裁，主张双倍工资差额及补签合同。
- 公司以“已补签”为由抗辩：若补签合同未倒签至实际用工日，或您能证明补签非自愿，抗辩不成立；若倒签且您自愿同意，可能影响双倍工资主张（需结合具体证据判断）。
四、行动建议
- 收集证据：保留工资条、考勤记录、工作证、同事证言等证明劳动关系及实际用工时间的证据。
- 与公司协商：明确要求补签合同并支付双倍工资差额，协商过程可录音或书面确认。
- 申请仲裁：若协商无果，可在1年内向劳动合同履行地或用人单位所在地的劳动仲裁委员会申请仲裁，提交仲裁申请书及证据材料。
温馨提示：劳动纠纷处理需结合具体证据和地区司法实践，若您对操作流程或证据收集有疑问，可直接向我咨询，我会根据您的实际情况提供详细指导。