可以要求当事人继续赔偿，但需根据具体情况确定赔偿范围和方式。以下是详细分析：

1. 保险公司赔偿与当事人赔偿的关系
   在交通事故中，若对方全责，其投保的保险公司通常会在交强险和商业三者险范围内承担赔偿责任。但保险赔偿可能存在限额（如交强险医疗费限额1.8万元、死亡伤残限额18万元，商业险按合同约定），若您的实际损失（如医疗费、残疾赔偿金、护理费等）超过保险限额，或保险条款明确不赔的项目（如诉讼费、鉴定费、非医保用药等），您有权要求对方当事人（即全责方）继续赔偿。

2. 可要求当事人赔偿的具体情形

   • 保险限额不足：若您的总损失（如伤残赔偿金、后续治疗费等）超过对方保险的赔偿上限，超出部分应由全责方个人承担。
     
   • 保险免赔项目：如保险公司以“非医保用药”“鉴定费不属于保险范围”等理由拒赔，但这些费用是因事故直接产生的合理支出，您可要求全责方赔偿。
     
   • 精神损害抚慰金：若事故造成严重伤残（如十级以上），您可主张精神损害赔偿，但部分商业险可能不赔此项，需由全责方承担。
     

3. 操作建议

   • 固定证据：保存医疗记录、伤残鉴定报告、费用票据等，证明实际损失金额。
     
   • 协商或诉讼：先与对方协商赔偿，若协商不成，可向法院起诉全责方及其保险公司（若保险未赔足），要求补足差额。
     
   • 注意诉讼时效：人身损害赔偿诉讼时效为3年，自知道或应当知道权利受损之日起计算，建议尽早处理。
     

示例：若您的伤残赔偿金为20万元，对方交强险赔了18万元，商业险赔了1万元（共19万元），剩余1万元可要求全责方赔偿；若保险公司拒赔5000元鉴定费，您也可要求全责方承担。

如有进一步细节（如保险条款、损失明细等），可随时向我咨询，我会帮您具体分析。