结论前置：在故意伤害行政案件转刑事后，犯罪嫌疑人自动到案，若同时满足自动投案和如实供述自己的罪行两个条件，则可以认定为自首。

详细分析：

1. 自首的认定条件：

   • 根据《中华人民共和国刑法（2023修正）》第六十七条的规定，自首必须同时满足两个条件：一是自动投案，二是如实供述自己的罪行。
   • 自动投案：指的是犯罪嫌疑人在犯罪事实未被司法机关发觉，或者虽被发觉但尚未受到讯问、未被采取强制措施时，主动、直接向公安机关、人民检察院或者人民法院投案。自动投案的形式多样，包括但不限于犯罪嫌疑人主动向司法机关投案、向其所在单位或有关负责人员投案、因病伤委托他人代为投案等。若犯罪嫌疑人自动投案后又逃跑，则不能认定为自首。
   • 如实供述自己的罪行：这是自首认定的核心条件。犯罪嫌疑人投案后，必须如实交代自己的主要犯罪事实，包括犯罪的时间、地点、手段、情节、动机等。这里的“如实”并不要求犯罪嫌疑人对犯罪行为性质的准确认定，只要其如实叙述了导致他人受伤的客观行为过程等主要事实，即便对自己是否具有伤害故意存在错误认知或予以否认，也不影响如实供述的认定。但如果犯罪嫌疑人对关键的犯罪事实进行隐瞒、歪曲或虚假陈述，企图逃避罪责，则不能认定为自首。

2. 故意伤害案件转刑事后的自首认定：

   • 在故意伤害行政案件转刑事后，犯罪嫌疑人自动到案，若其满足自动投案的条件，即主动向司法机关投案，且未受到讯问或未被采取强制措施，则符合自首的第一个条件。
   • 同时，若犯罪嫌疑人如实供述了自己的罪行，包括导致他人受伤的行为过程等主要事实，即便其否认有伤害的故意，也不影响自首的认定。因为自首的认定主要关注犯罪嫌疑人是否自动投案并如实供述罪行，而对犯罪嫌疑人的主观故意并非自首认定的必要条件。

3. 自首的法律后果：

   • 根据《中华人民共和国刑法（2023修正）》第六十七条的规定，对于自首的犯罪分子，可以从轻或者减轻处罚。其中，犯罪较轻的，可以免除处罚。

总结与建议：

• 在故意伤害行政案件转刑事后，犯罪嫌疑人自动到案，若同时满足自动投案和如实供述自己的罪行两个条件，则可以认定为自首，并可能因此获得从轻或减轻处罚的法律后果。
• 对于犯罪嫌疑人而言，自动投案并如实供述罪行是明智的选择，这有助于争取更轻的刑罚和更好的改造机会。
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