当事人死亡后，行政处罚决定书的执行需根据具体情况分情况处理，核心原则是处罚对象灭失后，行政机关不得再对其执行处罚，但需根据违法所得、财产归属等情形依法处置相关财物或追究相关责任人责任。具体分析如下：

1. 行政处罚的直接对象已灭失，处罚决定原则上终止执行
   根据《行政处罚法》第七十四条第二款规定，罚款、没收违法所得或者没收非法财物拍卖的款项，必须全部上缴国库，任何行政机关或者个人不得以任何形式截留、私分或者变相私分。若当事人死亡且无遗产可供执行，亦无继续承受其权利义务的法人、组织或自然人（如个体工商户的继承人），则行政机关不得再对已死亡的当事人执行处罚（如罚款、没收违法所得等），处罚程序应依法终止。

2. 当事人死亡后存在遗产或违法所得的，需区分财产性质处理

   • 若处罚涉及没收违法所得或非法财物：根据《行政处罚法》第二十八条第二款，当事人有违法所得，除依法应当退赔的外，应当予以没收。若当事人死亡后留有违法所得或非法财物，行政机关可依法从遗产中分割并没收，但需以遗产实际存在且可分割为前提。若遗产已用于清偿债务或分配完毕，且无其他财产可供执行，则处罚决定无法继续执行。
     
   • 若处罚涉及罚款：罚款属于对当事人个人的制裁，若当事人死亡且无遗产可供执行，罚款决定应终止执行；若遗产足以支付罚款，行政机关可向继承人主张，但需以继承人未放弃继承为前提，且罚款金额不得超过遗产实际价值。

3. 当事人死亡后存在继承人的，需明确继承人的责任范围
   根据《民法典》第一千一百六十一条，继承人以所得遗产实际价值为限清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务。若行政处罚涉及罚款或没收违法所得，且当事人留有遗产，行政机关可要求继承人在继承遗产范围内承担清偿责任；但若继承人放弃继承，或遗产不足以清偿债务，则行政机关不得强制继承人以个人财产承担处罚责任。

4. 特殊情形：当事人死亡系因违法行为导致，可能涉及刑事追责或民事赔偿
   若当事人死亡系因违法行为（如生产、销售不符合安全标准的食品导致中毒死亡）引发，行政机关在终止行政处罚执行后，若发现违法行为涉嫌犯罪，应依法将案件移送司法机关追究刑事责任；同时，受害人家属可依据《民法典》向相关责任人（如生产者、销售者）主张民事赔偿，但此属于民事法律关系，与行政处罚的执行无直接关联。

实务建议：行政机关在处理当事人死亡的行政处罚案件时，应首先调查当事人遗产状况、继承人意愿及违法所得去向，依法作出终止执行或继续执行的决定；若涉及复杂财产分割或继承争议，可建议当事人通过民事诉讼程序解决。如有具体案件需进一步分析，可直接向我咨询。