关于“当事人死亡后行政处罚决定如何履行”的问题，这确实是一个涉及法律执行与遗产处理的复杂议题。以下是对此问题的详细解答：

首先，我们需要明确行政处罚的种类，根据《中华人民共和国行政处罚法》第九条，行政处罚包括警告、通报批评、罚款、没收违法所得或非法财物、暂扣或吊销许可证件、限制生产经营活动、责令停产停业、责令关闭、限制从业以及行政拘留等。

当行政违法人员死亡后，对于不同类型的行政处罚，其处理方式也会有所不同：

1. 若行政处罚为没收财物或违法所得的：这种处罚不受当事人死亡的影响，仍会按照法定程序进行执行。

2. 若行政处罚为罚款的：根据法律规定，其继承人应当对其债务负有清偿责任。但这里的清偿责任以被继承人的遗产实际价值为限。若遗产不足以清偿罚款，且没有义务承受人，那么行政机关会终止强制执行。

3. 若行政处罚为行政拘留的：由于行政拘留是对个人的人身自由进行限制，因此当当事人死亡后，这一处罚自然不再执行。

此外，如果行政违法人员在案件调查阶段死亡，行政机关会终止调查。若此时违法嫌疑人已被采取行政强制措施，应当立即解除。这是基于《公安机关办理行政案件程序规定》的相关规定。

在处理此类问题时，还需遵循行政处罚的执行原则，如当事人自觉履行原则、行政复议和行政诉讼期间行政处罚决定不停止执行原则（但有特殊规定的除外）以及罚款决定与收缴罚款机构分离的原则等。

综上所述，当事人死亡后行政处罚决定的履行方式需根据具体处罚类型及法律规定来确定。在实际操作中，应充分考虑法律条款与实际情况的结合，确保处理的合法性与合理性。