结论：打麻将被拘留本身并不直接导致公司可以开除员工，但具体是否构成开除的合法理由，需结合公司规章制度、拘留的性质及后果等因素综合判断。以下从不同角度详细分析：

1. 公司规章制度的角度

• 规章制度合法性：公司若要在员工因打麻将被拘留后开除员工，首先需确保其规章制度中明确规定了“员工因违法行为被拘留，公司有权解除劳动合同”或类似条款，且该规章制度已通过民主程序制定、公示或告知员工，符合《劳动合同法》第四条的规定。
• 规章制度内容：规章制度应具体、明确，避免模糊表述。例如，若规章制度仅规定“员工不得违法”，而未明确“被拘留”属于严重违反规章制度的行为，则公司直接开除员工可能缺乏依据。

2. 拘留性质及后果的角度

• 行政拘留与刑事拘留：打麻将若仅涉及行政拘留（如因赌博被处以行政拘留），通常属于一般违法行为，不构成犯罪。此时，公司若要开除员工，需证明该行为严重违反公司规章制度或对公司的声誉、利益造成重大损害。
• 刑事拘留与犯罪：若打麻将行为涉嫌犯罪（如赌博罪），且员工被刑事拘留，最终可能面临刑事处罚。根据《劳动合同法》第三十九条，员工被依法追究刑事责任的，公司可以解除劳动合同。但需注意，刑事拘留本身不等于被追究刑事责任，需以法院判决为准。

3. 公司解除劳动合同的合法性

• 合法解除的条件：公司若以员工被拘留为由解除劳动合同，需满足以下条件之一：
  1. 员工的行为严重违反公司规章制度；
  2. 员工的行为对公司的声誉、利益造成重大损害；
  3. 员工被依法追究刑事责任（仅适用于刑事拘留且最终被判刑的情况）。
• 违法解除的后果：若公司无法证明其解除劳动合同的合法性，可能构成违法解除，需承担支付赔偿金等法律责任。

4. 实务建议

• 员工角度：若因打麻将被拘留，建议及时与公司沟通，说明情况，并了解公司规章制度的具体规定。若公司以此为由开除，可要求公司出具书面解除通知，并咨询专业律师评估解除的合法性。
• 公司角度：若考虑开除员工，需确保规章制度合法有效，且员工的行为确实符合解除条件。建议提前咨询专业律师，避免因违法解除而承担法律责任。

总结：打麻将被拘留是否构成公司开除的合法理由，需结合公司规章制度、拘留性质及后果等因素综合判断。若您或您所在的公司面临此类问题，可直接向我咨询，我将根据具体情况提供专业法律意见。