包工头在工地因公司每月拖欠农民工工资的情况下，确实有权选择不继续工作，但这一决定需谨慎处理，并应遵循一定的法律程序和步骤。以下是从不同角度对此问题的详细分析：
一、法律权利与义务
包工头的权利：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关法律法规，劳动者（包括农民工）有权获得按时足额支付的劳动报酬。若公司拖欠工资，不仅违反了劳动合同，也侵犯了劳动者的合法权益。
- 包工头作为农民工的代表或管理者，在农民工工资被拖欠的情况下，有责任和义务代表农民工与公司进行协商，要求支付拖欠的工资。若协商无果，包工头也有权采取进一步措施，包括但不限于停止工作、寻求法律援助等。
包工头的义务：
- 在决定停止工作前，包工头应确保已尽力与公司进行协商，并尝试通过合法途径解决工资拖欠问题。
- 停止工作应基于合理且充分的理由，即公司确实存在拖欠工资的行为，且这一行为已经对农民工的合法权益造成了实质性损害。
二、实际操作与建议
与公司协商：
- 包工头应首先与公司进行协商，明确表达农民工对工资拖欠的不满和诉求，要求公司立即支付拖欠的工资。
- 协商过程中，包工头可以提出具体的支付计划和时间表，以便双方达成共识。
收集证据：
- 在协商无果的情况下，包工头应开始收集相关证据，包括工资单、考勤记录、劳动合同等，以证明公司确实存在拖欠工资的行为。
- 这些证据将在后续的法律程序中发挥重要作用，有助于维护农民工的合法权益。
寻求法律援助：
- 若公司拒绝支付拖欠的工资，包工头可以代表农民工向当地劳动监察部门投诉，或寻求法律援助机构的帮助。
- 法律援助机构可以提供法律咨询、代理诉讼等服务，帮助农民工追回拖欠的工资。
停止工作的决定：
- 在采取上述措施后，若公司仍然拒绝支付工资，且农民工的合法权益受到严重侵害，包工头可以考虑停止工作。
- 但停止工作前，应确保已履行了上述的协商、收集证据和寻求法律援助等步骤，以避免因擅自停止工作而承担不必要的法律责任。
三、可能的法律后果
若公司存在过错：
- 若公司确实存在拖欠工资的行为，且这一行为被劳动监察部门或法院确认，公司可能需要承担支付拖欠工资、赔偿损失等法律责任。
若包工头擅自停止工作：
- 若包工头在未履行上述步骤的情况下擅自停止工作，可能会被视为违反了与公司的劳动合同或相关约定，从而需要承担一定的法律责任。
- 因此，在决定停止工作前，包工头应确保已充分履行了协商、收集证据和寻求法律援助等义务。
总结来说，包工头在工地因公司每月拖欠农民工工资的情况下，有权选择不继续工作，但这一决定应基于合理且充分的理由，并应遵循一定的法律程序和步骤。若您或您身边的农民工朋友遇到此类问题，建议直接向我咨询，我将根据具体情况提供详细的法律建议和帮助。