结论：能否继续在厂里上班，取决于多个因素，包括工伤认定结果、劳动能力鉴定结果、双方协商情况以及工厂的规章制度等。以下从不同角度进行分析：
工伤认定与劳动能力鉴定
- 工伤认定：首先，需要确认在家造成断指是否属于工伤。根据《工伤保险条例》的规定，工伤通常指的是在工作时间和工作场所内，因工作原因受到的事故伤害。如果在家断指是由于工作原因（如加班完成工作任务、处理工作紧急情况等），且能够提供充分证据证明这一点，那么有可能被认定为工伤。
- 劳动能力鉴定：一旦被认定为工伤，接下来需要进行劳动能力鉴定，以确定伤残等级。劳动能力鉴定结果将直接影响后续的工伤待遇和可能的岗位调整。
双方协商与工厂规章制度
- 双方协商：即使被认定为工伤，能否继续在原岗位上班也需要与工厂进行协商。工厂可能会根据劳动能力鉴定结果、岗位需求以及员工的具体情况，提出岗位调整或安排其他适合的工作。
- 工厂规章制度：此外，工厂的规章制度也可能对工伤员工的返岗有具体规定。例如，某些工厂可能规定工伤员工在康复后需要重新进行岗位培训或考核，合格后才能返岗。
法律后果与权益保障
- 如果无法返岗：如果因工伤导致无法继续在原岗位上班，且工厂无法提供其他适合的工作，员工有权依据《劳动合同法》的相关规定，与工厂协商解除劳动合同，并要求工厂支付相应的经济补偿。
- 权益保障：在整个过程中，员工应充分了解自己的权益，包括工伤认定、劳动能力鉴定、工伤待遇以及劳动合同解除等方面的权益。如有需要，可以寻求法律援助或咨询专业律师，以确保自己的权益得到充分保障。
建议：
- 首先，尽快向工厂报告受伤情况，并申请工伤认定。
- 其次，配合工厂和相关部门进行劳动能力鉴定，以便确定后续的工伤待遇和岗位安排。
- 在与工厂协商过程中，保持沟通畅通，明确表达自己的诉求和期望。
- 如有需要，及时咨询专业律师，以获取更具体的法律建议和帮助。
如有任何疑问或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问，我将竭诚为你服务。