结论：公司没有和员工签订劳动协议即辞退员工，此行为违法，员工通常有权获得双倍工资补偿及可能的赔偿金或经济补偿金。具体补偿金额和类型需根据员工在公司的工作年限、月工资标准及辞退行为的合法性等因素综合确定。

一、未签订劳动合同的法律后果

根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，公司自用工之日起超过一个月不满一年未与员工签订书面劳动合同的，必须向员工每月支付二倍的工资作为补偿。这一规定旨在保护劳动者的合法权益，确保劳动关系的明确与稳定。

• 起算时间：从用工之日起满一个月的次日开始计算。
• 截止时间：补订书面劳动合同的前一日或满一年当日（视为无固定期限劳动合同）。
• 补偿期限：最多支付11个月的双倍工资差额。

举例说明：若员工于2023年7月1日入职，至2024年4月1日被辞退且一直未签订劳动合同，则从2023年8月1日至2024年3月31日（共8个月），公司需支付双倍工资差额。

二、违法辞退的赔偿责任

若公司辞退员工的行为被认定为违法解除劳动合同，根据《劳动合同法》第八十七条的规定，公司需按照经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。经济补偿标准按员工在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。

• 赔偿金计算：经济补偿标准的二倍。
• 经济补偿标准：月工资指劳动合同解除前十二个月的平均工资。

举例说明：若员工在公司工作了2年3个月且月工资为5000元，若公司违法辞退该员工，则需支付赔偿金为：\(5000元/月 \times 2.5个月 \times 2 = 25000元\)。

三、合法辞退但需支付经济补偿的情形

在某些合法辞退但需要支付经济补偿的情形下（如无过失性辞退），公司也需按照上述经济补偿标准向员工支付经济补偿金。这体现了法律对劳动者权益的全面保护。

• 无过失性辞退：包括劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作的；劳动者不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作的；劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行，经用人单位与劳动者协商，未能就变更劳动合同内容达成协议的等情形。

四、特殊情况说明

虽然一般情况下公司未签劳动合同即辞退员工需承担法律责任，但也存在特殊情况。例如，若员工故意不与公司签订劳动合同，且公司能提供充分证据予以证明，那么公司可能无需支付未签订劳动合同的双倍工资补偿。然而，即使在这种情况下，公司辞退员工时仍需严格遵守法律规定，否则仍可能面临支付赔偿金或经济补偿金的风险。

五、员工维权建议

1. 收集证据：包括工资支付记录、工作证、考勤记录、同事证言等，以证明劳动关系及工作时间、工资待遇。
2. 与公司协商：尝试与公司沟通，要求支付相应补偿。
3. 申请劳动仲裁：若协商不成，可向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，维护合法权益。仲裁时效为一年，从知道或应当知道权利被侵害之日起计算。

总结：公司未签劳动合同即辞退员工是违法的，员工通常有权获得双倍工资补偿及可能的赔偿金或经济补偿金。为避免不必要的法律风险和经济损失，公司应严格遵守相关法律法规，及时与员工签订书面劳动合同，并依法处理劳动关系中的各项事宜。员工在遇到此类情况时，应积极收集证据，通过合法途径维护自己的权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。