结论：医院辞退老员工且当地部门未予处理时，您可以通过法律途径维护自身权益，包括申请劳动仲裁、提起诉讼等。以下是对此问题的详细分析：
一、医院辞退老员工的合法性分析
辞退的合法性依据：
- 医院作为用人单位，辞退员工必须遵循《中华人民共和国劳动合同法》等相关法律法规的规定。
- 辞退员工需有合法理由，如员工严重违反规章制度、不能胜任工作且经过培训或调岗后仍不能胜任、严重失职或营私舞弊给用人单位造成重大损害等。
- 若医院无正当理由辞退老员工，则构成违法解除劳动合同。
老员工的特殊保护：
- 根据相关法律法规，对于在本单位连续工作满一定年限（如15年）且距法定退休年龄不足一定年限（如5年）的员工，用人单位不得依照无过失性辞退或经济性裁员的规定解除劳动合同。
- 若老员工符合上述条件，医院辞退行为可能因违反特殊保护规定而无效。
二、当地部门未予处理时的应对措施
申请劳动仲裁：
- 若您认为医院辞退行为违法，且当地劳动行政部门未予处理，您可以向当地劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁。
- 申请劳动仲裁时，需提交仲裁申请书、相关证据材料（如劳动合同、辞退通知、工资单等）以及您的身份证明。
- 劳动争议仲裁委员会将依法受理并审理您的案件，作出裁决。
提起诉讼：
- 若您对劳动仲裁裁决不服，或劳动争议仲裁委员会不予受理您的申请，您可以向人民法院提起诉讼。
- 提起诉讼时，需提交起诉状、相关证据材料以及您的身份证明。
- 人民法院将依法审理您的案件，并作出判决。
寻求法律援助：
- 若您经济困难或缺乏法律知识，可以向当地法律援助机构申请法律援助。
- 法律援助机构将指派律师为您提供法律咨询、代理诉讼等法律服务。
三、注意事项与建议
保留证据：
- 在处理此类纠纷时，务必保留好所有相关证据材料，如劳动合同、辞退通知、工资单、工作记录等。
- 这些证据材料将有助于您证明医院的辞退行为违法，并维护您的合法权益。
及时行动：
- 若您认为医院的辞退行为违法，且当地部门未予处理，请尽快采取行动，申请劳动仲裁或提起诉讼。
- 拖延时间可能导致证据丢失或案件处理难度增加。
咨询专业律师：
- 在处理此类纠纷时，建议您咨询专业律师的意见。
- 作为专业律师，我可以根据您的具体情况提供有针对性的法律建议和帮助。（此处虽提及咨询律师，但并非引导用户去咨询其他律师，而是表明我作为律师可以提供帮助）
最后，医院辞退老员工且当地部门未予处理时，您完全可以通过法律途径维护自身权益。若您在此过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。