结论：客人喝醉后在回去的路上受伤，店里是否有责任不能一概而论，需要分情况讨论。
分析如下：
店里未尽到安全保障义务的情况
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十八条：“宾馆、商场、银行、车站、机场、体育场馆、娱乐场所等经营场所、公共场所的经营者、管理者或者群众性活动的组织者，未尽到安全保障义务，造成他人损害的，应当承担侵权责任。”如果客人在店里喝醉，店家有义务对客人进行一定的照顾和提醒，比如提醒客人注意安全、建议客人打车回家或者联系其亲友来接等。如果店家没有尽到这些义务，导致客人在回去的路上受伤，那么店家可能需要承担一定的责任。
- 举例：假设客人在店里大量饮酒后明显醉酒，店家既没有提醒客人注意安全，也没有提供任何帮助（如打车、联系亲友等），客人在离开店后不久就因醉酒摔倒受伤。在这种情况下，店家可能因未尽到安全保障义务而需要承担一定的赔偿责任。
店里已尽到安全保障义务的情况
- 如果店家已经尽到了合理的安全保障义务，比如提醒客人注意安全、建议客人打车或联系亲友等，但客人仍然坚持自行离开并在回去的路上受伤，那么店家可能不需要承担责任。因为店家已经尽到了其应尽的义务，客人的受伤是由于其自身的行为导致的。
- 举例：客人在店里饮酒后表现出醉酒状态，店家及时提醒客人注意安全，并建议客人打车回家或联系亲友来接。客人表示自己没事，坚持要自行离开。结果客人在回去的路上因醉酒摔倒受伤。在这种情况下，店家可能不需要承担赔偿责任，因为其已经尽到了安全保障义务。
客人自身存在过错的情况
- 如果客人在回去的路上受伤是由于其自身的过错导致的，比如故意闯红灯、不走人行道等，那么店家可能不需要承担责任。因为客人的受伤是由于其自身的违法行为或疏忽大意导致的，与店家无关。
- 举例：客人在店里饮酒后醉酒，店家提醒其注意安全并建议打车回家。客人不听劝告，坚持要自行骑车回家。在回家的路上，客人因闯红灯与一辆汽车相撞受伤。在这种情况下，客人需要自行承担大部分或全部责任，因为其受伤是由于其自身的违法行为导致的。
建议：
- 对于店家来说，为了降低法律风险，建议在客人饮酒后及时提醒其注意安全，并根据客人的醉酒程度提供必要的帮助（如打车、联系亲友等）。
- 对于客人来说，饮酒后应当注意自身安全，避免酒后驾车或进行其他危险行为。如果确实需要回家，建议选择安全的交通方式或联系亲友来接。
后续行动：
- 如果客人或店家对责任归属有争议，可以收集相关证据（如监控录像、证人证言等）并咨询专业律师以维护自身权益。
- 在处理此类纠纷时，建议保持冷静和理性，通过合法途径解决问题。
有问题可以直接向我咨询，我会为你提供专业的法律建议。