结论：私人老板没有签合同直接开除员工，这种行为一般是不合法的，员工有权要求相应的赔偿或补偿。下面我将从多个角度详细分析这个问题。
一、未签劳动合同的法律后果
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，如果私人老板没有与员工签订劳动合同，员工有权要求老板支付未签合同期间的双倍工资。
二、直接开除员工的法律后果
违法解除劳动合同：如果私人老板没有合法理由直接开除员工，这可能构成违法解除劳动合同。根据《劳动合同法》的规定，用人单位违法解除劳动合同的，应当向劳动者支付赔偿金，赔偿金的标准是经济补偿金的两倍。经济补偿金根据劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
合法解除劳动合同的情形：当然，如果员工存在严重违反用人单位规章制度、严重失职或营私舞弊给用人单位造成重大损害等情形，老板可以合法解除劳动合同，且无需支付赔偿金。但这种情况需要老板提供充分的证据来证明员工的过错。
三、员工应如何维权
收集证据：员工应首先收集与老板存在劳动关系以及老板违法解除劳动合同的证据，如工资条、工作证、考勤记录、同事证言等。
协商解决：员工可以尝试与老板进行协商，要求老板支付未签合同期间的双倍工资以及违法解除劳动合同的赔偿金。
申请劳动仲裁：如果协商无果，员工可以向当地的劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，要求老板承担相应的法律责任。
提起诉讼：如果对劳动仲裁结果不满，员工还可以向法院提起诉讼，通过司法途径来维护自己的合法权益。
四、特殊情况下的处理
如果员工在试用期内被开除，且老板能够证明员工不符合录用条件，那么老板可以合法解除劳动合同，且无需支付赔偿金。但同样，老板需要提供充分的证据来证明员工不符合录用条件。
总结与建议：私人老板没有签合同直接开除员工，这种行为一般是不合法的。员工有权要求老板支付未签合同期间的双倍工资以及违法解除劳动合同的赔偿金。如果遇到这种情况，员工应首先收集证据，然后尝试与老板协商解决。如果协商无果，可以向劳动仲裁委员会申请劳动仲裁或向法院提起诉讼来维护自己的合法权益。如果你有具体的法律问题或需要进一步的帮助，请直接向我咨询。