针对行政机关未履行职责的情况，可以按照以下步骤处理，我将从法律救济途径和实务操作建议两个维度展开说明：
一、法律救济途径（核心结论）
申请行政复议
- 适用情形：认为行政机关不履行法定职责（如未处理投诉、未颁发许可证等）
- 操作步骤：
- 自知道行政机关不作为之日起60日内向其上一级主管部门或同级政府提出复议申请（如对区市场监管局不作为不服，可向区政府或市市场监管局申请复议）；
- 需提交书面申请书（载明申请人信息、复议请求、事实理由）及证据材料（如申请履职的凭证、行政机关未答复的证明等）。
- 法律效果：复议机关应在60日内作出决定，可责令行政机关限期履行职责或确认违法。
提起行政诉讼
- 适用情形：复议未解决或直接起诉（如紧急情况需快速救济）
- 操作步骤：
- 自知道不作为之日起6个月内向法院起诉（如对复议决定不服，需在收到复议决定书之日起15日内起诉）；
- 需提交起诉状（明确被告、诉讼请求、事实理由）及证据材料（同复议阶段，需证明行政机关存在法定职责且未履行）。
- 法律效果：法院可判决行政机关在一定期限内履行职责，或确认不作为违法并责令赔偿。
投诉举报与监督
- 适用情形：需快速推动行政机关行动或公开监督
- 操作步骤：
- 向行政机关的上级部门或监察委员会投诉（如通过12345热线、政府官网信访渠道）；
- 要求上级部门督促履职或对相关人员追责（需提供行政机关不作为的线索，如拖延处理、拒绝答复等）。
- 法律效果：可能触发内部督查程序，但无直接强制力，需结合复议/诉讼使用。
二、实务操作建议（关键细节）
固定证据链
- 保存所有与行政机关沟通的记录（如申请书、邮寄凭证、短信/邮件通知、现场接待记录）；
- 若行政机关口头拒绝履职，需通过录音、证人证言等方式固定证据。
选择救济顺序
- 优先复议：若希望快速解决且行政机关层级清晰（如区级部门），复议程序更高效；
- 直接诉讼：若涉及重大利益（如拆迁补偿、行政许可）或复议可能偏袒下级，建议直接起诉。
注意时效风险
- 复议和诉讼的时效均从“知道或应当知道不作为之日”起算，需及时行动（如行政机关承诺期限届满后未答复，即视为不作为）；
- 若超过时效，可能丧失救济权利（除非能证明因不可抗力或其他正当理由耽误）。
三、特殊情形提示
- 抽象行政行为不作为（如未制定地方性法规）：需通过人大监督程序解决，不属于复议/诉讼范围；
- 内部行政行为不作为（如对公务员的晋升申请未处理）：一般不可诉，需通过内部申诉渠道解决。
总结：行政机关未履职时，可通过复议、诉讼或投诉监督途径维权，关键在于固定证据、选择合适程序、注意时效。若需进一步分析具体案件（如涉及环保、工商、税务等不同领域），可直接向我咨询，我会结合案情提供详细方案。