结论：员工因病完全丧失劳动能力时，单位是否可以协商解除劳动关系，需根据员工是否处于医疗期内、医疗期满后的工作能力以及是否存在其他法定解除情形来综合判断。

一、医疗期内的保护规定

1. 医疗期定义：医疗期是指企业职工因患病或非因工负伤停止工作治病休息不得解除劳动合同的时限。
2. 医疗期长度：根据劳动者的实际工作年限和在本单位的工作年限来确定，一般为3个月到24个月不等。例如，实际工作年限10年以下的，本单位工作年限5年以下的为3个月医疗期。
3. 保护规定：在医疗期内，根据《中华人民共和国劳动法》第二十九条及《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条的规定，用人单位不得依据《劳动合同法》第四十条、第四十一条的规定解除劳动合同。这意味着，在医疗期内，即使员工因病完全丧失劳动能力，单位也不能单方面解除劳动关系。

二、医疗期满后的处理规定

1. 解除条件：若劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作，根据《劳动法》第二十六条及《劳动合同法》第四十条的规定，用人单位可以提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，解除劳动合同。但这一解除并非基于协商，而是基于法定条件。
2. 协商解除：在医疗期满后，如果员工确实因病完全丧失劳动能力，且无法从事原工作或另行安排的工作，单位可以与员工进行协商，看是否能够达成解除劳动关系的协议。但协商解除必须基于双方自愿，且单位需支付相应的经济补偿。
3. 经济补偿：解除劳动合同时，用人单位需按照劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付经济补偿。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。同时，根据相关规定，还应给予不低于六个月工资的医疗补助费，患重病和绝症的还需增加医疗补助费。

三、特殊情况下的处理

1. 严重违反规章制度：即使员工生病，但若其行为严重违反用人单位的规章制度，或存在其他法定解除劳动合同的情形（如严重失职、营私舞弊等），用人单位仍可依据相关法律规定解除劳动合同。但这种情况与员工因病完全丧失劳动能力无直接关联。
2. 工伤情况：对于工伤员工，根据《劳动合同法》及相关法律法规，员工在工伤治疗期间及停工留薪期内，单位一般不得随意终止劳动关系，需保持劳动关系并照常支付员工工资福利待遇。如果员工因工伤完全丧失劳动能力，单位更不能随意解除劳动关系，而应按照工伤保险的相关规定进行处理。

四、法律建议

1. 对于员工：如果因病完全丧失劳动能力，且处于医疗期内，应了解自己的权益，拒绝单位单方面解除劳动关系的要求。如果医疗期满后确实无法继续工作，可以与单位进行协商，争取合理的经济补偿和医疗补助费。
2. 对于单位：在处理生病员工的劳动合同时，必须严格遵守相关法律法规，确保员工的合法权益得到充分保障。在任何情况下，都应遵循法律程序，避免违法解除劳动合同带来的法律风险和经济赔偿。如果确实需要与员工解除劳动关系，应提前与员工进行协商，并支付相应的经济补偿和医疗补助费。

最后，如果因病完全丧失劳动能力，单位与员工之间的劳动关系处理是一个复杂而敏感的问题。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。