结论：私人超市倒闭且未签订劳动合同的员工，在一定条件下是有可能获得赔偿的。具体能否获得赔偿以及赔偿的数额，取决于多种因素，包括员工的工作年限、工资水平、超市的倒闭原因以及是否能够证明存在事实劳动关系等。

分析：

1. 事实劳动关系的认定：

   • 尽管未签订书面劳动合同，但根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，只要员工与用人单位之间存在事实上的劳动关系，即员工为用人单位提供了劳动，并接受了用人单位的管理和指挥，同时从用人单位处获得了劳动报酬，那么双方之间就构成了劳动关系。
   • 在这种情况下，员工有权享受与签订书面劳动合同的员工同等的劳动权益，包括获得经济补偿等。

2. 经济补偿的获得：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十四条和第四十六条的规定，用人单位因破产等原因终止劳动合同的，应当向劳动者支付经济补偿。
   • 经济补偿的计算标准通常是根据员工在用人单位的工作年限和月工资水平来确定的。具体来说，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。

3. 未签订劳动合同的双倍工资差额：

   • 如果员工能够证明与超市之间存在事实劳动关系，并且超市未依法与员工签订书面劳动合同，那么员工还有权要求超市支付未签订劳动合同期间的双倍工资差额。
   • 这一权利的行使通常受到一定时间限制，即自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。

4. 实际操作中的难点：

   • 在实际操作中，员工需要提供充分的证据来证明与超市之间存在事实劳动关系，如工作证、工资条、考勤记录、同事证言等。
   • 此外，如果超市已经倒闭且资产不足以清偿债务，员工可能需要通过法律程序来申报债权，并参与破产清算程序来争取获得赔偿。

建议：

• 如果您是未签订劳动合同的员工，且私人超市已经倒闭，建议您尽快收集相关证据来证明与超市之间存在事实劳动关系。
• 您可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求超市支付经济补偿和未签订劳动合同的双倍工资差额。
• 如果超市已经进入破产清算程序，您还需要及时向破产管理人申报债权，以便在清算过程中获得相应的赔偿。

后续行动：

• 在处理此类纠纷时，建议您咨询专业律师以获取更具体的法律建议和指导。
• 您可以向我进一步咨询关于劳动争议仲裁、破产清算程序等方面的具体问题，我会根据您的具体情况提供详细的解答和建议。