公司应依法承担相应责任，具体处理方式需结合员工病情、劳动合同及公司制度综合判断。以下是详细分析：

1. 医疗期保障义务
   根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，员工因病或非因工负伤需停止工作医疗时，公司需根据其实际工作年限和在本单位工作年限，给予3-24个月的医疗期。医疗期内公司不得解除劳动合同，且需按不低于当地最低工资标准的80%支付病假工资。例如，工作5年以上的员工，医疗期通常为6个月。

2. 工伤保险适用情形
   若员工出差期间因工作原因突发疾病（如因加班导致过劳死、因工作场所环境引发职业病等），可认定为工伤。此时公司需在30日内申请工伤认定，并承担医疗费、伤残补助金等费用。但若疾病与工作无直接关联（如自身慢性病发作），则不适用工伤保险。

3. 劳动合同解除限制
   医疗期内公司不得以”不能胜任工作”“客观情况重大变化”等理由解除合同。若医疗期满后员工仍无法从事原工作，公司需提前30日书面通知或额外支付1个月工资后解除合同，并依法支付经济补偿金（按工作年限，每满1年支付1个月工资）。

4. 特殊情形处理建议

• 病情危重：公司可酌情给予人文关怀，如垫付医疗费、协助申请社会救助等，但无强制法律义务。
  
• 争议处理：若员工主张工伤但公司不认可，可申请劳动仲裁；对医疗期计算有异议的，可向劳动监察部门投诉。
  
• 制度完善：建议公司制定《员工医疗期管理办法》，明确病假申请流程、医疗期核算标准等，避免纠纷。

实务提示：公司应第一时间核实员工病情与工作关联性，保留出差任务安排、医疗诊断证明等证据。若涉及工伤认定，需在员工发病后48小时内报备社保部门。具体操作可进一步向我咨询。