非法打流浪狗的问题，通常涉及多个部门的协同管理，但直接针对“非法打”这一行为，主要应关注的是动物保护和公共安全方面的法律规定，而具体管理流浪狗的部门则会在处理此类事件时介入。不过，若从“流浪狗管理”及“防止非法行为”的角度综合分析，以下部门可能涉及：

1. 公安机关：

   • 主要职责：公安机关是养犬管理工作的主管机关，负责查处无证养犬、违法携犬外出等危害公共安全的行为。在流浪狗问题上，虽然公安机关的主要职责并非直接捕捉流浪狗，但在流浪狗对公共安全构成威胁时，公安机关会介入处理，包括可能协调其他部门进行捕捉。同时，如果“非法打流浪狗”行为涉及故意伤害或虐待动物，且情节严重，可能触犯《治安管理处罚法》或其他相关法律，公安机关将负责调查和处理。
   • 法律依据：《中华人民共和国治安管理处罚法》第七十五条对饲养动物干扰他人正常生活或驱使动物伤害他人的行为进行了规定和处罚。虽然该条款未直接提及“非法打流浪狗”，但若行为构成驱使动物伤害他人或故意伤害动物，则可能适用。

2. 城市管理部门（综合执法局/城管部门）：

   • 主要职责：城市管理部门参与流浪狗的管理，特别是对流浪狗影响市容环境卫生的行为进行查处。在“非法打流浪狗”的情境下，如果行为发生在公共场所且影响了市容环境，城市管理部门可能会介入调查，并协调相关部门进行捕捉和处理流浪狗，同时可能对非法行为进行制止或处罚。
   • 法律依据：《城市市容和环境卫生管理条例》第三十五条对饲养家畜家禽影响市容和环境卫生的行为进行了规定和处罚。虽然该条款主要针对饲养家畜家禽，但流浪狗问题也常被纳入城市市容和环境卫生的管理范畴。

3. 畜牧兽医行政部门（动物防疫监督机构）：

   • 主要职责：畜牧兽医行政部门负责犬类的免疫、检疫和其他相关管理工作。在流浪狗被捕捉后，畜牧兽医行政部门会对其进行检疫和免疫，以防止疾病传播。虽然该部门不直接管理“非法打流浪狗”的行为，但在流浪狗处理流程中扮演重要角色。
   • 法律依据：《中华人民共和国动物防疫法》明确了动物防疫监督机构的职责，包括动物疫病的监测、检测、诊断、流行病学调查、疫情报告以及其他预防、控制等技术工作。

4. 基层政府组织（街道办事处、乡镇人民政府等）及社区和物业部门：

   • 主要职责：基层政府组织和社区、物业部门在辖区内协调和组织相关工作，如联合其他部门制定和实施针对流浪狗问题的管理措施。在“非法打流浪狗”的情况下，这些部门可能会接到居民反映，并协助联系相关部门进行处理，同时可能对非法行为进行劝阻或报告。

针对“非法打流浪狗”的具体建议：

• 如果您发现有人非法打流浪狗，首先应确保自身安全，避免直接介入冲突。
• 您可以联系当地的居民委员会、村民委员会或物业部门，反映情况并请求他们协助联系相关部门进行处理。
• 如果非法行为严重，如涉及故意伤害或虐待动物，且情节恶劣，您可以向公安机关报案，由公安机关依法调查和处理。

最后需要强调的是，流浪狗问题是一个复杂的社会问题，需要多部门协同合作来解决。同时，我们也应倡导文明养犬和关爱动物的理念，共同维护公共安全、环境卫生和动物福利。如果您有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。