结论：在此情况下，一般应由质权人起诉第三人要求赔偿，但出质人在特定情况下也可能有起诉的权利或需承担一定责任。以下是对此问题的详细分析：
一、质权人的权利与起诉依据
质权人的保管义务与权利：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，质权人在质押期间负有妥善保管质押财产的义务。若因保管不善致使质押财产毁损、灭失的，质权人应当承担赔偿责任。但在此案例中，质押物是被第三人损坏，且损坏原因在于质权人（可能是质权人未尽到妥善保管义务，导致第三人有机会损坏，或质权人直接行为导致第三人损坏，但核心在于损坏非出质人行为），因此质权人有权向第三人主张赔偿。
质权人的物上请求权：
- 质权作为担保物权，赋予质权人对质押物的直接支配权。当质押物受到第三人侵害时，质权人有权基于物上请求权要求第三人停止侵害、恢复原状或赔偿损失。
二、出质人的地位与可能的情况
出质人的权利与义务：
- 出质人将质押物交付给质权人后，原则上不再直接占有质押物，也不直接承担质押物的保管责任。然而，若出质人对质押物的损坏存在过错（如提供的质押物本身存在缺陷，或出质人指示质权人进行不当操作导致损坏），则出质人可能需承担一定的赔偿责任。
出质人起诉的特殊情况：
- 在一般情况下，出质人不会直接起诉第三人要求赔偿质押物的损坏。但是，如果质权人未积极行使对第三人的赔偿请求权，导致出质人的权益受到损害（如质权人怠于追偿，使得出质人无法在债务清偿后顺利取回质押物或获得相应赔偿），出质人可能有权基于代位权或类似法律原理，以自己的名义起诉第三人。不过，这种情况较为特殊，且需满足一定的法律条件。
三、实际操作建议
质权人应积极行使权利：
- 质权人在发现质押物被第三人损坏后，应及时收集证据，明确损坏原因和责任方，并积极向第三人主张赔偿。这既是质权人履行妥善保管义务的要求，也是保护自身和出质人权益的必要措施。
出质人应关注质权人的行为：
- 出质人虽然不再直接占有质押物，但仍应关注质权人的行为，确保质权人妥善保管质押物。若发现质权人存在过错或怠于行使权利的情况，出质人应及时与质权人沟通，必要时可寻求法律帮助。
双方可协商解决：
- 在质押物被损坏的情况下，质权人和出质人也可以协商解决赔偿问题。通过协商，双方可以达成一致的赔偿方案，避免不必要的法律纠纷。
四、法律后果
- 若质权人成功起诉第三人并获得赔偿，该赔偿应首先用于弥补质押物的损失。若赔偿金额超过质押物的价值，超出部分可能需根据质押合同的约定或法律规定进行处理。
- 若质权人未积极行使权利导致出质人权益受损，出质人可能有权要求质权人承担相应的赔偿责任。
综上所述，质押物在质押期间因质权人原因被第三人损坏时，一般应由质权人起诉第三人要求赔偿。但出质人在特定情况下也可能有起诉的权利或需承担一定责任。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。