关于您提出的“申请监外执行期间谁看管”的问题，这主要涉及到我国刑事执行法律制度中的监外执行相关规定。
首先，监外执行是指对于被判处有期徒刑或拘役的罪犯，在符合法定条件的情况下，可以不在监狱内执行刑罚，而是在监狱外由特定的机构或人员进行看管和监督。这种制度的设计，主要是考虑到罪犯的特殊情况，如患有严重疾病需要保外就医、怀孕或正在哺乳自己婴儿的妇女等，以及为了体现刑罚的人道主义和灵活性。
在监外执行期间，罪犯的看管责任主要由以下几个主体承担：
社区矫正机构：根据我国的相关法律规定，对于被决定监外执行的罪犯，通常由社区矫正机构负责执行和监督。社区矫正机构会制定具体的矫正方案，包括定期报到、思想教育、心理辅导、行为矫正等措施，以确保罪犯在监外执行期间能够遵守法律法规，不再犯罪。
公安机关：公安机关在监外执行期间也扮演着重要的角色。他们负责与社区矫正机构密切配合，对罪犯进行日常的监督和管理。如果罪犯违反了监外执行的规定，如擅自离开居住地、未按时报到等，公安机关有权对其进行处罚或采取其他必要的措施。
罪犯的亲属或监护人：在监外执行期间，罪犯的亲属或监护人也承担着一定的看管责任。他们需要协助社区矫正机构和公安机关对罪犯进行监督和管理，确保罪犯遵守相关规定，及时报告罪犯的异常情况。
具体来说，看管的方式和内容会根据罪犯的具体情况和监外执行的原因而有所不同。例如，对于因患有严重疾病需要保外就医的罪犯，看管的重点可能是确保其按时就医、遵守医嘱；对于怀孕或正在哺乳自己婴儿的妇女，看管的重点可能是确保其得到必要的照顾和保护，同时防止其再次犯罪。
总的来说，监外执行期间的看管是一个多方协作的过程，需要社区矫正机构、公安机关以及罪犯的亲属或监护人共同努力，以确保罪犯在监外执行期间能够遵守法律法规，顺利回归社会。希望这个解答能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的了解，请随时告诉我。