结论：在父亲去世、母亲健在的情况下，子女确实有权继承父亲的财产，但具体继承情况需根据是否存在遗嘱、法定继承人范围及顺序、财产性质（是否为夫妻共同财产）等因素综合确定。以下是对此问题的详细分析：
一、有遗嘱的情况
遗嘱效力优先：
- 如果父亲生前立有合法有效的遗嘱，并明确指定了财产的继承人，那么应当按照遗嘱的内容进行继承。这意味着，即使母亲是配偶，但如果遗嘱中未将其列为继承人或未给予其继承份额，她可能无法直接继承该部分财产。同样，子女是否能继承也取决于遗嘱的具体内容。
遗嘱形式要求：
- 遗嘱的形式必须符合法律规定，如自书遗嘱需由遗嘱人亲笔书写、签名并注明年月日；代书遗嘱应当有两个以上见证人在场见证等。只有符合形式要求的遗嘱才具有法律效力。
二、无遗嘱的情况（法定继承）
第一顺序继承人：
- 在没有遗嘱的情况下，按照法定继承办理。根据《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条，遗产的第一顺序继承人为配偶、子女、父母。因此，母亲作为配偶，子女作为父亲的直系血亲后代，均为第一顺序继承人，有权共同继承父亲的财产。
继承份额：
- 同一顺序继承人继承遗产的份额，一般应当均等。但对生活有特殊困难又缺乏劳动能力的继承人，分配遗产时应当予以照顾；对被继承人尽了主要扶养义务或者与被继承人共同生活的继承人，可以多分；有扶养能力和有扶养条件的继承人，不尽扶养义务的，应当不分或者少分。
夫妻共同财产的分割：
- 在处理遗产前，需先对父母的夫妻共同财产进行分割。通常，夫妻共同财产的一半归母亲所有，另一半作为父亲的遗产由法定继承人继承。例如，若父母共有一套价值100万元的房产，则首先应将房产的一半（50万元）分给母亲，剩余的50万元再由母亲、子女等第一顺序继承人按照法定继承规则进行分配。
三、特殊情况下的继承
转继承与代位继承：
- 如果父亲去世后，在遗产分割前母亲也去世，且母亲未放弃继承权，则她应继承的份额将转由其法定继承人继承（转继承）。此外，如果子女中有先于父亲死亡的，其晚辈直系血亲可以代位继承父亲应继承的份额（代位继承）。
保留胎儿继承份额：
- 如果父亲去世时，其妻子已怀孕，那么在分割遗产时应当为胎儿保留继承份额。胎儿娩出时是死体的，保留的份额按照法定继承办理。
四、法律建议
了解财产性质：
- 在处理继承问题前，应首先了解父亲财产的性质，即是否为夫妻共同财产。这有助于确定遗产的范围和继承方式。
查找遗嘱：
- 如果父亲生前可能立有遗嘱，应尽快查找并确认遗嘱的真实性和有效性。遗嘱的存在将直接影响继承方式和继承份额的分配。
协商与调解：
- 在继承过程中，家庭成员之间应保持沟通，尽量通过协商和调解解决分歧。这有助于维护家庭和谐，避免不必要的法律纠纷。
寻求法律帮助：
- 如果继承问题复杂或存在争议，建议寻求专业律师的帮助。律师可以提供法律咨询、代理诉讼等服务，确保继承过程合法、公正、顺利。
总结：在父亲去世、母亲健在的情况下，子女作为第一顺序继承人，有权继承父亲的财产。但具体继承情况需根据是否存在遗嘱、法定继承人范围及顺序、财产性质等因素综合确定。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。