公职人员观看涉政违法视频属于严重违纪违法行为，需根据具体情节和后果，依纪依法严肃处理。具体处理方式需结合以下角度分析：

1. 纪律处分层面

根据《中国共产党纪律处分条例》《中华人民共和国公职人员政务处分法》等规定，公职人员若存在以下行为，将面临纪律处分：

• 观看内容性质：若视频涉及颠覆国家政权、煽动分裂国家、宣扬恐怖主义、极端主义，或传播虚假涉政信息、恶意诋毁国家政策等，属于严重违反政治纪律和政治规矩的行为。
• 处分类型：根据情节轻重，可能给予警告、记过、记大过、降级、撤职、开除等政务处分；若为党员，还可能同时受到党纪处分（如警告、严重警告、撤销党内职务、留党察看、开除党籍）。
• 加重情节：若存在主动传播、组织观看、多次观看、拒不悔改等情形，将从重或加重处分。

2. 法律责任层面

若观看行为涉及以下情形，可能构成违法甚至犯罪：

• 行政违法：根据《治安管理处罚法》，若视频内容涉及“散布谣言，谎报险情、疫情、警情或者以其他方法故意扰乱公共秩序”“扬言实施放火、爆炸、投放危险物质扰乱公共秩序”等，可能面临5-15日拘留、罚款等处罚。
• 刑事犯罪：若视频内容涉及“煽动颠覆国家政权罪”“煽动分裂国家罪”“宣扬恐怖主义、极端主义罪”等，可能被追究刑事责任，面临有期徒刑、拘役等刑罚。

3. 处理程序与依据

• 调查程序：公职人员所在单位或纪检监察机关需依规依纪开展调查，核实视频内容、观看时间、场合、主观意图等关键事实。
• 证据要求：需固定视频内容（如截图、录屏）、观看记录（如浏览历史、下载记录）、证人证言等证据，确保处理程序合法合规。
• 处分决定：根据调查结果，由有权机关（如单位党委、纪委、监察委）作出处分决定，并告知被处分人申诉权利。

4. 特殊情形说明

• 不知情观看：若公职人员因误点链接、被欺骗等非主观故意观看，且未传播或造成影响，可能从轻或免予处分，但需及时报告并删除内容。
• 境外观看：若在境外观看涉政违法视频，回国后仍可能被追责，因公职人员身份具有持续性，境外行为同样受国内纪律法律约束。

建议：公职人员应严格遵守政治纪律，不点击、不观看、不传播任何涉政违法内容；若不慎接触，应立即删除并主动向单位报告，避免扩大影响。如有具体案件或情节需进一步分析，可直接向我咨询。