核心结论：在私立学校上班却未签订劳动合同，你可以通过收集证据证明劳动关系，然后与学校协商补签合同或要求赔偿；若协商不成，可向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。以下是详细说明：

1. 收集证据证明劳动关系：

   • 尽管没有签订书面劳动合同，但你可以通过收集其他证据来证明你与私立学校之间存在事实劳动关系。这些证据可以包括工资条、工作证、考勤记录、同事证言、工作邮件或聊天记录等。
   • 这些证据将有助于你在后续的协商、投诉或仲裁过程中证明自己的权益。

2. 与学校协商：

   • 在收集到足够证据后，你可以首先尝试与学校进行协商，要求补签劳动合同或就未签订合同期间的权益进行赔偿。
   • 协商时，你可以明确提出自己的诉求，并引用相关法律法规来支持自己的观点，如《中华人民共和国劳动合同法》中关于未签订劳动合同应支付双倍工资的规定。

3. 向劳动监察部门投诉：

   • 如果协商无果，你可以向当地的劳动监察部门投诉。劳动监察部门有权对用人单位的违法行为进行调查，并可以责令用人单位改正。
   • 在投诉时，你需要提供收集到的证据，并详细说明情况，以便劳动监察部门能够准确了解问题并作出处理。

4. 申请劳动仲裁：

   • 如果投诉后问题仍未得到解决，你可以向劳动仲裁委员会申请劳动仲裁。劳动仲裁委员会将根据双方提供的证据和法律法规进行裁决。
   • 在申请劳动仲裁时，你需要准备详细的仲裁申请书，并附上相关证据材料。仲裁过程中，你可以委托律师代理或自行出庭应诉。

额外建议：

• 在整个过程中，保持冷静和理性，避免与学校发生不必要的冲突。
• 如果可能的话，尽量与其他同事保持沟通，了解他们是否也面临类似问题，以便共同维护权益。
• 如果你对法律程序不熟悉或感到困惑，可以随时向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议。