结论前置：子女在老人不知情的情况下私自提取老人存款，未经老人同意或缺乏合法依据，通常构成违法行为，甚至可能涉嫌犯罪。老年人有权要求返还被取走的款项，并通过法律途径维护自身权益。以下从不同角度为您详细分析：
一、一般情况下的违法性
老人的财产权保护：
- 老人的存款属于其个人合法财产，依法受到保护。根据《中华人民共和国老年人权益保障法（2018修正）》第二十二条，老年人对个人的财产享有占有、使用、收益和处分的权利，子女或其他亲属不得干涉，更不得以窃取、骗取、强行索取等方式侵犯老年人的财产权益。
- 同时，《中华人民共和国民法典》也明确了监护人的职责，除为维护被监护人利益外，监护人不得处分被监护人的财产。这意味着，即使子女是老人的监护人，也不能擅自取走老人的存款。
民事法律责任：
- 未经老人同意，子女私自取走存款侵犯了老人的财产所有权和支配权。老人有权要求子女返还被取走的款项，并可主张相应的利息损失等。
- 如果子女拒绝返还，老人可以通过民事诉讼的方式向法院起诉，要求子女归还存款并赔偿损失。在诉讼过程中，老人需要提供相关证据，如银行流水、取款记录等，以证明子女私自取走了存款。
二、可能构成犯罪的情形
盗窃罪的构成要件：
- 根据《中华人民共和国刑法》第二百六十四条，盗窃公私财物，数额较大的，或者多次盗窃、入户盗窃、携带凶器盗窃、扒窃的，均构成盗窃罪。
- 如果老人已丧失认知能力，如患有严重老年痴呆等疾病，子女以非法占有为目的，利用老人认知障碍等情况私自取走大量存款，情节严重的，可能涉嫌盗窃罪。在这种情况下，子女的行为不仅侵犯了老人的财产权，还可能对老人的生活造成严重影响。
法律后果：
- 私自取走老人存款的行为，一旦被发现并证实，可能面临刑事追究。具体处罚包括有期徒刑、拘役或者管制，并处罚金，量刑依据违法行为的情节和取走的金额数量。
- 根据《最高人民法院、最高人民检察院关于办理盗窃刑事案件适用法律若干问题的解释》，偷拿家庭成员或近亲属的财物，获得谅解的，一般可以不认为是犯罪；但这并不意味着此类行为完全不构成犯罪，而是需视具体情况而定。如果子女未获得老人谅解，或者取款金额巨大、情节严重，仍可能构成犯罪。
三、合法取款的情形
- 如果老人曾明确表示将存款赠与子女，或者子女取走存款是基于老人的委托、授权，或者是为了支付老人的必要生活费用、医疗费用等合理用途，且有相应证据证明，那么这种取款行为通常不违法。例如，老人因身体原因无法亲自去银行取款，委托子女代为办理，并提供了书面委托书或口头授权，这种情况下子女的取款行为是合法的。
总结与建议
子女应尊重老人的财产权利，不得擅自取走老人的存款。如需使用老人的资金，应事先获得老人的明确同意或授权，并确保资金用于老人的合理需求。同时，老年人也应加强自我保护意识，妥善管理自己的财产，比如可以设置复杂的银行密码、定期查看银行流水等，避免财产权益受到侵害。如遇类似情况，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。