结论：在未约定还款期限且债务人已偿还部分借款的情况下，诉讼时效是否起算需分情况讨论。

1. 若债务人偿还部分借款时，双方未就剩余债务的还款期限达成新的约定：

   • 根据《中华人民共和国民法典》第一百八十八条：“向人民法院请求保护民事权利的诉讼时效期间为三年。法律另有规定的，依照其规定。诉讼时效期间自权利人知道或者应当知道权利受到损害以及义务人之日起计算。” 在未约定还款期限的借贷关系中，债权人可以随时要求债务人履行还款义务，诉讼时效期间从债权人要求债务人履行义务的宽限期届满之日起计算。若债务人偿还部分借款时，双方未就剩余债务的还款期限达成新的约定，且债权人未明确表示放弃剩余债权或给予债务人新的宽限期，则诉讼时效期间并未起算。因为此时债权人仍有权随时要求债务人偿还剩余借款，债务人的还款义务并未因部分偿还而消灭或改变。

2. 若债务人偿还部分借款时，双方就剩余债务的还款期限达成了新的约定：

   • 在此情况下，诉讼时效期间应从新的还款期限届满之日起计算。因为双方已经就剩余债务的还款时间达成了合意，债务人应在新的还款期限内履行还款义务。若债务人未在新的还款期限内偿还剩余借款，则债权人的权利受到损害，诉讼时效期间开始起算。

3. 特殊情况：债权人首次主张权利时债务人明确表示不履行义务：

   • 若债权人在未约定还款期限的借贷关系中首次向债务人主张权利时，债务人明确表示不履行还款义务，则诉讼时效期间应从债务人明确表示不履行义务之日起计算。因为此时债权人的权利已经受到债务人的明确拒绝，诉讼时效期间开始起算。但在此案例中，由于债务人已经偿还了部分借款，表明其并非完全拒绝履行还款义务，因此这种情况较为少见。不过，如果债务人在偿还部分借款后，明确表示不再偿还剩余借款，则诉讼时效期间应从该表示之日起计算。

法律建议：

• 对于债权人而言，在未约定还款期限的借贷关系中，应妥善保管好借款合同、借条等债权凭证，以及债务人偿还部分借款的凭证（如转账记录、收条等）。在债务人偿还部分借款时，若双方未就剩余债务的还款期限达成新的约定，债权人可以书面形式要求债务人明确剩余债务的还款时间，以固定诉讼时效的起算点。
• 对于债务人而言，在偿还部分借款时，应与债权人明确剩余债务的还款期限，并保留好相关证据。若因特殊原因无法按时偿还剩余借款，应及时与债权人沟通并协商延期还款事宜，以避免诉讼时效期间起算后因未及时还款而承担不利法律后果。

可能法律后果：

• 若诉讼时效期间已经起算且超过三年，债权人将丧失胜诉权，即即使其向法院提起诉讼要求债务人偿还剩余借款，法院也可能因诉讼时效期间已过而不予支持其诉讼请求。因此，债权人应密切关注诉讼时效期间的起算和届满情况，及时行使权利以维护自身合法权益。