结论：烧烤店不签房屋租赁合同是违法的，且可能面临一定的法律后果和赔偿问题。具体赔偿情况需根据实际损失和合同约定（如有）来确定。
一、违法性分析
根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，租赁期限六个月以上的，应当采用书面形式。当事人未采用书面形式，无法确定租赁期限的，视为不定期租赁。这意味着，如果烧烤店与房东之间的租赁期限超过六个月，且未签订书面合同，那么这种租赁关系在法律上将被视为不定期租赁。虽然不定期租赁本身并不直接违法，但缺乏书面合同可能导致双方在租赁期限、租金支付、房屋维修等方面产生争议，且一旦发生纠纷，烧烤店可能面临举证困难的问题。
二、赔偿问题
如果因未签合同导致损失：
- 若因未签订书面合同，导致烧烤店在租赁期间遭受了实际损失（如因房东提前解约导致的装修损失、停业损失等），烧烤店有权要求房东进行赔偿。
- 赔偿的具体金额将根据实际损失的大小、双方过错程度以及相关法律法规的规定来确定。
如果合同中有违约条款：
- 假设双方实际上有口头约定或存在其他形式的合同（如电子邮件、短信等），且其中包含了违约条款，那么一旦房东违反这些条款，烧烤店可以依据合同中的违约条款要求房东承担违约责任，包括支付违约金或赔偿损失。
- 但需要注意的是，口头约定或其他非书面形式的合同在举证上可能存在困难，因此烧烤店应尽可能收集相关证据来支持自己的主张。
如果双方均无过错，但因未签合同导致合同无效或被撤销：
- 在某些特殊情况下，如果因未签订书面合同导致租赁合同被认定为无效或被撤销（如因房东无权出租房屋等），那么烧烤店可能无法直接要求房东赔偿损失。
- 但在此情况下，烧烤店可以依据《民法典》中关于无效合同或被撤销合同的处理规定，要求房东返还已支付的租金、押金等费用，并可能要求房东承担因合同无效或被撤销而给烧烤店造成的其他损失。
三、建议
- 尽快签订书面合同：为了避免未来可能出现的纠纷和损失，烧烤店应尽快与房东签订书面租赁合同，明确双方的权利和义务。
- 收集并保存证据：在租赁期间，烧烤店应妥善保存与租赁相关的所有证据（如租金支付凭证、房屋维修记录、与房东的沟通记录等），以便在发生纠纷时能够有力地维护自己的权益。
- 咨询专业律师：如果烧烤店在租赁过程中遇到了法律问题或纠纷，建议及时咨询专业律师以获取专业的法律意见和帮助。
作为魏杨律师，我专注于合同纠纷和房产领域，如果你有任何相关问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。