遗嘱在未承认私生子的情况下指定房产继承人，该遗嘱在符合法定形式和实质要件时是有效的。以下是对这一问题的详细分析：

一、遗嘱的有效性要件

根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，遗嘱的有效需要满足以下条件：

1. 遗嘱人具有完全民事行为能力：即遗嘱人在立遗嘱时必须具备完全的民事行为能力，能够清晰地表达自己的意愿。
2. 遗嘱内容合法：遗嘱内容必须合法，不得违反法律、行政法规的强制性规定，不得违背公序良俗。
3. 遗嘱形式合法：遗嘱必须符合法定的形式要求，如自书遗嘱、代书遗嘱、录音遗嘱、口头遗嘱、公证遗嘱等，每种形式都有其特定的要求。

二、私生子对遗嘱有效性的影响

1. 私生子的法律地位：私生子，即非婚生子女，与婚生子女享有同等的法律地位。这意味着私生子在继承权方面与婚生子女没有区别。然而，遗嘱的有效性并不取决于遗嘱人是否承认私生子的存在。遗嘱人可以在遗嘱中自由处分自己的财产，包括指定继承人或遗赠给特定的人。
2. 遗嘱的独立性：遗嘱是遗嘱人单方面的法律行为，其有效性不依赖于遗嘱人是否承认某些事实或关系。只要遗嘱符合上述有效性要件，且遗嘱人在立遗嘱时具有完全民事行为能力，遗嘱内容合法，形式合法，那么该遗嘱就是有效的。

三、私生子可能享有的继承权

1. 法定继承：如果遗嘱被认定为无效或遗嘱人未立遗嘱，那么私生子作为法定继承人之一，有权参与遗产的分配。根据《民法典》的规定，非婚生子女与婚生子女享有同等的继承权。
2. 遗嘱继承中的特殊情况：虽然遗嘱人可以在遗嘱中自由处分自己的财产，但如果遗嘱人故意剥夺私生子的继承权，且私生子属于缺乏劳动能力又没有生活来源的继承人，那么根据《民法典》的相关规定，该遗嘱部分可能无效，私生子仍有权获得必要的遗产份额。不过，这一规定并不影响遗嘱中其他部分的效力，且需要私生子主动主张权利并提供相应证据。

四、建议与注意事项

1. 确保遗嘱的合法性：为了确保遗嘱的有效性，建议遗嘱人在立遗嘱时咨询专业律师，确保遗嘱内容合法、形式合法，并符合遗嘱人的真实意愿。
2. 考虑私生子的权益：虽然遗嘱人可以在遗嘱中自由处分自己的财产，但考虑到私生子的法律地位和继承权，遗嘱人在立遗嘱时可以酌情考虑私生子的权益，以避免可能的法律纠纷。
3. 及时更新遗嘱：随着家庭情况的变化，遗嘱人应及时更新遗嘱，以确保遗嘱能够反映自己的最新意愿和家庭状况。

总结来说，遗嘱在未承认私生子的情况下指定房产继承人，只要该遗嘱符合法定形式和实质要件，就是有效的。如果您在处理家庭财产纠纷或遗嘱相关问题时遇到任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。