关于医院劳务派遣和合同工合同到期后的处理问题，这确实是一个涉及多方权益的重要事项。下面我将结合相关法律法规，为您详细解答。
一、医院劳务派遣合同到期后的处理
留用与续签：
- 如果医院对派遣员工的工作表现满意，且有继续用工的需求，可以与派遣公司协商续签派遣协议。同时，派遣员工与派遣公司的劳动合同也会相应延续，从而保持工作的稳定性。
- 续签合同时，必须严格遵守《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，确保合同条款合法合规，不得违反劳动法关于试用期、工作时间、工资待遇等方面的规定。
退回派遣公司：
- 如果医院不再需要该员工的服务，可以根据派遣协议的约定将其退回派遣公司。此时，派遣公司有责任为员工重新安排工作，或者按照法律规定支付基本生活费用。
解除劳动关系与经济补偿：
- 当派遣合同及劳动合同均到期且不续签时，派遣公司需要按照法律规定向员工支付经济补偿。补偿标准通常依据员工在本单位的工作年限来计算，每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资。
离职手续：
- 员工如果决定不续签合同，应当办理离职手续，包括归还医院物品、结清工资、转移社保和公积金等。
二、医院合同工合同到期后的处理
续签劳动合同：
- 如果医院与合同工双方都有意继续合作，应当提前通知并协商续签劳动合同的相关事宜，如合同期限、工作岗位、薪资待遇等。协商一致后，签订新的劳动合同。
- 特别地，如果合同工在医院连续工作满十年，或者已经连续订立二次固定期限劳动合同且没有违反相关法律规定的情形，当合同工提出续订劳动合同时，医院应当与其订立无固定期限劳动合同。
终止劳动合同：
- 如果医院决定不再续签合同，应当提前书面通知合同工，并说明原因。同时，按照法律规定支付经济补偿。
- 如果合同工主动提出不再续签合同，且医院没有降低原合同约定的条件，那么医院无需支付经济补偿。但合同工仍需提前向医院提交书面离职申请，并办理离职手续。
特殊情形处理：
- 如果合同工在合同到期后仍处于医疗期内，劳动合同应当续延至医疗期满。在此期间，医院不得随意解除或终止劳动合同。如果医院违反规定在医疗期内单方面解除劳动合同，需要支付相应的赔偿金。
三、总结与建议
无论是劳务派遣员工还是合同工，合同到期后的处理都需要遵循相关法律法规的规定。医院应当合理规划人力资源需求，派遣公司和医院都应当切实履行用人单位的义务，而员工则应当了解自身权益并积极配合相关手续的办理。通过合法合规的操作，可以确保各方的权益得到有效保障，促进劳务派遣市场的健康发展。
希望以上解答能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的咨询，请随时告诉我。