当劳动争议仲裁裁决不予执行申请被驳回后，当事人仍有多种救济途径可供选择，具体如下：

1. 向上一级人民法院申请复议

   • 适用情形：若当事人认为法院在审查执行仲裁裁决过程中存在程序违法，如违反法定程序、超期审查等，可先向负责执行的人民法院提出书面异议。若异议被驳回，可向上一级人民法院申请复议。
   • 法律依据：根据相关法律规定，当事人、利害关系人对裁定不服的，可以自裁定送达之日起十日内向上一级人民法院申请复议。
   • 操作建议：在申请复议时，应详细阐述法院审查执行行为中的违法点，并提供相关证据支持。

2. 提起撤销仲裁裁决之诉

   • 适用情形：若仲裁裁决本身存在法定可撤销情形，如没有仲裁协议、裁决事项超出仲裁范围、仲裁程序违法等，当事人可向仲裁委员会所在地的中级人民法院申请撤销裁决。
   • 法律依据：根据《仲裁法》第五十八条，当事人提出证据证明裁决有法定可撤销情形的，可以向仲裁委员会所在地的中级人民法院申请撤销裁决。
   • 操作建议：在申请撤销裁决时，应准备充分的证据证明裁决存在法定可撤销情形，并在收到裁决书之日起六个月内提出申请。

3. 通过审判监督程序救济

   • 适用情形：若当事人有新的证据足以推翻原裁定，或者原裁定认定事实的主要证据是伪造的，或者原裁定适用法律确有错误等情形，且符合法律规定的再审条件，可以尝试通过审判监督程序来救济。
   • 法律依据：审判监督程序是对已经发生法律效力的判决、裁定、调解书，发现确有错误，依法再次进行审判的程序。
   • 操作建议：审判监督程序启动难度较大，需要严格符合法定条件。在申请再审时，应详细阐述原裁定存在的错误，并提供新证据或证明原证据存在问题的材料。

4. 另行通过诉讼解决纠纷

   • 适用情形：若该纠纷不属于法律规定的一裁终局事项，并且双方当事人在仲裁协议中未明确排除诉讼管辖，或者仲裁协议被认定无效，当事人可以就该纠纷向有管辖权的人民法院提起诉讼。
   • 法律依据：根据《劳动争议调解仲裁法》等相关法律规定，对于非一裁终局的劳动争议案件，当事人若不服仲裁裁决，可在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。
   • 操作建议：在提起诉讼时，应准备充分的证据证明自己的主张，并明确诉讼请求、事实和理由。同时，注意诉讼时效的限制，避免错过提起诉讼的时机。

其他注意事项：

• 时间限制：不同的救济途径有不同的时间要求，如提起撤销仲裁裁决之诉需在收到裁决书之日起六个月内提出，提起诉讼需在收到仲裁裁决书之日起十五日内提出等。因此，当事人应及时行使权利，避免错过时效。
• 证据准备：在任何救济途径中，充分准备相关证据和材料都是至关重要的。当事人应确保所提交的证据能够有力支持自己的主张。
• 法律理解：劳动争议案件往往涉及复杂的法律关系和事实认定，当事人在选择救济途径时，应充分理解相关法律规定和程序要求，以确保自己的权益得到有效维护。

综上所述，当劳动争议仲裁裁决不予执行申请被驳回后，当事人应根据具体情况选择合适的救济途径，并在专业律师的指导下进行操作（当然，这里的专业律师就是我啦，有问题可以直接向我咨询），以确保自身权益得到有效维护。