当法院驳回不予执行仲裁裁决的申请后，当事人可以通过以下途径进行救济：

1. 向上一级人民法院申请复议

   • 适用情形：若当事人认为法院在审查执行仲裁裁决案件过程中存在程序性问题，如违反法定程序、超期审查等，且这些错误影响了其合法权益，可以向负责执行的人民法院提出书面异议。若异议被驳回，当事人可以在裁定送达之日起十日内向上一级人民法院申请复议。
   • 法律依据：根据《最高人民法院关于人民法院办理仲裁裁决执行案件若干问题的规定》，申请执行人对驳回执行申请裁定不服的，可依法申请复议。
   • 操作建议：在申请复议时，当事人应详细说明原执行裁定存在的错误及自己的主张，并附上相关证据材料，以便上一级法院进行审查。

2. 提起撤销仲裁裁决之诉

   • 适用情形：若仲裁裁决本身存在法定可撤销情形，如没有仲裁协议、裁决的事项不属于仲裁协议的范围、仲裁庭的组成或仲裁程序违反法定程序等，当事人可以向仲裁委员会所在地的中级人民法院申请撤销裁决。
   • 法律依据：根据《中华人民共和国仲裁法》第五十八条，当事人提出证据证明裁决有法定可撤销情形的，可以向仲裁委员会所在地的中级人民法院申请撤销裁决。
   • 操作建议：当事人应在收到裁决书之日起六个月内提出撤销申请，并准备充分的证据材料来支持自己的主张。

3. 通过审判监督程序救济

   • 适用情形：若当事人有新的证据足以推翻原裁定，或者原裁定认定事实的主要证据是伪造的，或者原裁定适用法律确有错误等情形，且符合法律规定的再审条件，可以尝试通过审判监督程序来救济。
   • 法律依据：审判监督程序是对已经发生法律效力的判决、裁定、调解书，发现确有错误，依法再次进行审判的程序。
   • 操作建议：审判监督程序启动难度较大，需要严格符合法定条件。当事人应咨询专业律师，评估自身案件是否符合再审条件，并准备充分的证据材料。

4. 另行通过诉讼解决纠纷

   • 适用情形：若该纠纷不属于法律规定的一裁终局事项，并且双方当事人在仲裁协议中未明确排除诉讼管辖，或者仲裁协议被认定无效，当事人可以就该纠纷向有管辖权的人民法院提起诉讼。
   • 法律依据：根据相关法律规定，当事人有权选择通过诉讼程序解决争议。
   • 操作建议：在提起诉讼前，当事人应仔细审查仲裁协议的内容，确保自己有权提起诉讼。同时，应准备充分的证据材料来支持自己的诉讼请求。

其他注意事项：

• 时间限制：不同的救济途径有不同的时间要求，如提起撤销仲裁裁决之诉需在收到裁决书之日起六个月内提出，申请复议也需在裁定送达之日起十日内提出。因此，当事人应及时行使权利，避免错过时效。
• 法律咨询：由于具体的救济途径可能会因地区和具体案件情况而有所不同，建议当事人咨询专业律师，以获取更准确的法律建议和帮助。
• 和解与调解：除了上述法律途径外，当事人还可以考虑通过和解、调解等方式解决争议。这些方式通常更为灵活，也更容易为双方所接受。

综上所述，当法院驳回不予执行仲裁裁决的申请后，当事人仍有多种救济途径可供选择。在选择具体途径时，应充分考虑案件的具体情况和法律规定，并咨询专业律师的意见以确保权益得到有效维护。如有任何法律问题，可以直接向我咨询。