核心结论：因病长期不能正常上班且每月一半时间休息的情况，需根据病情严重程度、医疗期规定、劳动合同约定及单位规章制度等多方面因素综合处理，主要涉及医疗期、工资支付、劳动合同解除等关键问题，以下为你详细分析。

医疗期相关处理

1. 确定医疗期时长 根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，医疗期是指企业职工因患病或非因工负伤停止工作治病休息不得解除劳动合同的时限。医疗期根据本人实际参加工作年限和在本单位工作年限，给予三个月到二十四个月的医疗期。例如，实际工作年限十年以下的，在本单位工作年限五年以下的为三个月；五年以上的为六个月。你需要先明确自己符合哪种情况，以此确定医疗期时长。
2. 医疗期内的权益保障 在医疗期内，单位不得随意解除劳动合同。如果单位违法解除，你有权要求单位继续履行劳动合同或者支付赔偿金。同时，单位应按照相关规定支付你病假工资、疾病救济费等。病假工资可以低于当地最低工资标准支付，但不能低于最低工资标准的80%。

工资支付相关处理

1. 医疗期内的工资支付 如前面所述，在医疗期内，单位要按照一定标准支付工资。具体标准可能因地区和单位规定有所不同，但最低不得低于当地最低工资标准的80%。例如，当地最低工资标准为2000元，那么单位每月支付给你的病假工资至少应为1600元。
2. 医疗期满后的工资支付 如果医疗期满后，你仍不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作的，单位可以按照规定解除劳动合同，此时单位需要支付经济补偿。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。这里的月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。

劳动合同解除相关处理

1. 医疗期内单位不得解除 在医疗期内，除非你有严重违反用人单位的规章制度、严重失职、营私舞弊给用人单位造成重大损害等法定情形，单位不得解除劳动合同。如果单位强行解除，属于违法解除，你可以通过劳动仲裁等途径维护自己的合法权益，要求单位支付赔偿金，赔偿金是经济补偿标准的二倍。
2. 医疗期满后的处理 医疗期满后，如果你不能从事原工作，单位应为你另行安排适当的工作。如果你仍不能从事另行安排的工作的，单位可以提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，解除劳动合同，并支付经济补偿。

其他注意事项

1. 及时提交病假证明 你需要按照单位的要求及时提交医院出具的病假证明等相关材料，以便单位核实你的病情和休假情况。如果未能及时提交，可能会影响你的病假工资支付和医疗期计算。
2. 与单位沟通协商 在整个过程中，建议你与单位保持良好的沟通协商。可以与单位说明自己的病情和治疗情况，争取单位的理解和支持。同时，也可以了解单位的相关政策和规定，以便更好地维护自己的权益。

如果你在处理因病长期不能正常上班的问题过程中遇到任何疑问或需要进一步的帮助，都可以直接向我咨询。