结论：员工请假处理私事时受伤，一般情况下不构成工伤，但在特定情形下，如符合“工作原因”的延伸或特殊情形，可能被认定为工伤。以下从不同角度详细分析：
一、一般情形：请假处理私事受伤不构成工伤
根据《工伤保险条例》第十四条的规定，工伤认定需满足“工作时间、工作场所、工作原因”三个核心要素。员工请假处理私事，显然不在工作时间内，也不在工作场所内，且受伤原因与工作无关，因此不符合工伤认定的基本条件。
举例说明：员工小张因家中急事向公司请假一天，在请假期间外出办事时不慎摔倒受伤。由于小张此时处于请假状态，且受伤原因与工作无关，因此其受伤不构成工伤。
二、特殊情形：可能构成工伤的情况
尽管请假处理私事受伤一般不构成工伤，但在某些特殊情形下，如符合“工作原因”的延伸或特殊情形，可能被认定为工伤。这些情形包括但不限于：
因工作需要外出请假：
- 如果员工请假是为了处理与工作相关的事务，如外出参加会议、洽谈业务等，且在处理事务过程中受伤，那么可能构成工伤。
- 法律依据：根据《工伤保险条例》第十四条第五项的规定，“因工外出期间，由于工作原因受到伤害或者发生事故下落不明的”，应当认定为工伤。
上下班途中发生非本人主要责任的交通事故：
- 如果员工请假后，在上下班途中（即从居住地到工作地或从工作地到居住地的合理路线）发生非本人主要责任的交通事故，那么可能构成工伤。
- 法律依据：根据《工伤保险条例》第十四条第六项的规定，“在上下班途中，受到非本人主要责任的交通事故或者城市轨道交通、客运轮渡、火车事故伤害的”，应当认定为工伤。但需注意，此处的“上下班途中”需满足合理时间、合理路线的条件，且事故责任需为非本人主要责任。
其他特殊情形：
- 如员工在请假期间，因工作原因被召回公司处理紧急事务，并在处理过程中受伤，那么可能构成工伤。
- 或者员工请假是为了进行与工作相关的体检、治疗等，且在体检、治疗过程中受伤，也可能构成工伤。但这些情形需具体分析，且需有充分证据证明受伤与工作有关。
三、法律建议与风险提示
对于员工：
- 在请假处理私事时，应明确请假原因，并尽量避免从事与工作无关的高风险活动，以降低受伤风险。
- 如因工作原因需要请假外出，应提前与公司沟通并获得批准，同时保留好相关证据（如请假条、外出记录等），以备不时之需。
对于公司：
- 应建立健全的工伤认定制度，明确工伤认定的标准和流程，确保在员工受伤时能够及时、准确地作出判断。
- 在员工请假时，应询问请假原因，并提醒员工注意安全。如员工请假是为了处理与工作相关的事务，应要求员工提供相关证据，并考虑是否需要提供必要的协助或支持。
风险提示：
- 工伤认定是一个复杂且严谨的过程，需要综合考虑多种因素。因此，在员工受伤后，公司应及时组织调查，收集相关证据，并根据实际情况作出判断。
- 如对工伤认定有争议，可依法申请劳动仲裁或提起诉讼，通过法律途径解决争议。
如有更多关于劳动工伤的疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。