结论：种在小区公共区域的私人树木被砍伐，是否需要赔偿取决于树木的权属、砍伐行为的合法性以及是否造成了实际损失等多个因素。以下从不同角度进行详细分析：
一、树木权属的认定
私人所有但种植在公共区域：
- 若树木虽种植在小区公共区域，但依法属于私人所有（例如，通过合法手续获得土地使用权并种植，或小区开发商在售房时明确约定公共区域内的特定树木归业主所有），则私人业主对树木享有所有权。
- 在此情况下，未经私人业主同意，他人擅自砍伐树木，构成对私人业主财产权的侵害，私人业主有权要求砍伐者承担赔偿责任。
公共所有或管理：
- 若树木属于小区公共财产，由小区业主共同所有或由物业公司管理，则私人业主无权单独主张赔偿。
- 但若砍伐行为未经合法程序（如未经业主大会决议或物业公司同意），且造成了小区公共利益的损失，相关责任方（如砍伐者、物业公司等）可能需承担赔偿责任，但此赔偿应归小区全体业主共有，而非单个私人业主。
二、砍伐行为的合法性
合法砍伐：
- 若砍伐行为经过合法程序（如取得林业部门的砍伐许可、经过小区业主大会决议等），则砍伐行为合法，私人业主通常无权要求赔偿。
- 但若砍伐过程中存在过错（如未按照许可范围砍伐、未采取必要保护措施导致其他损失等），砍伐者可能需承担相应的过错责任。
非法砍伐：
- 若砍伐行为未经合法程序，则构成非法砍伐，砍伐者需承担侵权责任，包括赔偿私人业主因树木被砍伐所遭受的实际损失。
三、实际损失的认定
树木价值：
- 私人业主因树木被砍伐所遭受的实际损失，首先包括树木本身的价值。树木价值可通过评估、市场价格等方式确定。
其他损失：
- 若树木被砍伐还导致了其他损失（如影响小区景观、造成安全隐患等），私人业主也有权要求砍伐者承担相应的赔偿责任。
四、法律建议
收集证据：
- 私人业主在发现树木被砍伐后，应及时收集证据，包括树木被砍伐前的照片、视频、权属证明、砍伐行为的证据等，以便在后续维权过程中提供有力支持。
协商解决：
- 在证据充分的情况下，私人业主可以尝试与砍伐者进行协商，要求其承担赔偿责任。协商过程中，可以邀请物业公司或社区居委会等第三方参与调解。
法律途径：
- 若协商无果，私人业主可以向人民法院提起诉讼，要求砍伐者承担侵权责任并赔偿损失。在诉讼过程中，应提供充分的证据证明树木的权属、砍伐行为的非法性以及实际损失的存在。
进一步思考：在实际操作中，树木权属的认定可能涉及复杂的法律关系和证据收集问题。因此，建议私人业主在种植树木时，应明确树木的权属并保留相关证据；在发现树木被砍伐后，应及时咨询专业律师并采取相应的法律措施以维护自身权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。