结论：居住小区树木被私自砍伐后，是否需要原处补栽树，这主要取决于砍伐行为的性质、当地的相关规定以及小区的管理规约。以下从几个角度进行详细分析：
砍伐行为的性质：
- 合法砍伐：如果砍伐行为是经过相关部门批准，且符合城市绿化管理等相关法律法规的规定，那么砍伐后是否需要补栽，以及补栽的具体要求，通常会由批准部门在批准文件中明确。在这种情况下，应遵循批准文件的要求执行。
- 非法砍伐：如果砍伐行为未经批准，属于非法砍伐，那么根据《城市绿化条例》等相关法律法规，砍伐者可能需要承担补种树木、赔偿损失等法律责任。在这种情况下，通常需要在原处或指定地点补栽树木，以恢复绿化环境。
当地的相关规定：
- 不同地区对于小区树木砍伐和补栽的规定可能有所不同。一些地区可能制定了具体的地方性法规或规章，对砍伐树木的条件、程序以及补栽要求等进行了明确规定。因此，在处理此类问题时，应首先查阅当地的相关规定，以确定具体的法律要求。
小区的管理规约：
- 小区的管理规约是小区业主共同遵守的行为准则。如果管理规约中对于树木砍伐和补栽有明确规定，那么业主在砍伐树木时应遵循管理规约的要求。如果管理规约规定砍伐后需要补栽，那么业主应履行补栽义务。
法律建议：
- 如果您是小区业主，且发现有人私自砍伐了小区的树木，建议您首先向小区物业或业委会报告，了解砍伐行为的具体情况。
- 如果砍伐行为未经批准，属于非法砍伐，您可以向当地的城市绿化管理部门或相关执法机构举报，要求砍伐者承担法律责任，并恢复绿化环境。
- 如果砍伐行为已经发生，且需要补栽树木，您可以与小区物业或业委会协商，确定补栽的具体方案和时间表，并共同监督补栽工作的实施。
可能的法律后果：
- 如果砍伐者拒绝履行补栽义务或赔偿损失，小区物业或业委会可以代表业主向法院提起诉讼，要求砍伐者承担相应的法律责任。
- 在诉讼过程中，法院会根据相关法律法规和证据材料，判决砍伐者是否需要补栽树木、赔偿损失等，并可能对其处以罚款等行政处罚。
总之，居住小区树木被私自砍伐后是否需要原处补栽树，取决于多种因素。在处理此类问题时，应综合考虑砍伐行为的性质、当地的相关规定以及小区的管理规约等因素，并遵循相关法律法规的要求进行处理。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。