家人被刑拘后，取保候审的批准部门通常是公安机关、人民检察院或人民法院，具体取决于案件所处的阶段。以下是对这一问题的详细解答：
取保候审的批准部门与案件阶段
- 侦查阶段：在案件处于公安机关的侦查阶段时，如果家人被刑事拘留并符合取保候审的条件，那么取保候审的申请需要向公安机关提出，并由公安机关进行审查批准。
- 审查起诉阶段：当案件进入人民检察院的审查起诉阶段时，如果家人仍然被羁押且符合取保候审的条件，那么取保候审的申请可以向人民检察院提出，并由人民检察院进行审查批准。
- 审判阶段：在案件进入人民法院的审判阶段后，如果家人被羁押且符合取保候审的条件，那么取保候审的申请可以向人民法院提出，并由人民法院进行审查批准。
取保候审的申请条件
- 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，取保候审的申请需要满足一定的条件，如可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；可能判处有期徒刑以上刑罚，但采取取保候审不致发生社会危险性的；患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；以及羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的等。
取保候审的申请流程
- 通常，取保候审的申请需要由被羁押的家人或其法定代理人、近亲属、辩护人向相应的办案机关（公安机关、人民检察院或人民法院）提出书面申请。
- 办案机关在收到申请后，会进行审查，并根据案件的具体情况和申请人的条件来决定是否批准取保候审。
- 如果批准取保候审，办案机关会要求申请人提供保证人或交纳保证金，并出具取保候审决定书和执行通知书。
取保候审后的注意事项
- 被取保候审的家人需要遵守相关的规定，如未经批准不得离开所居住的市、县；住址、工作单位和联系方式发生变动的，需要在24小时以内向执行机关报告；在传讯的时候及时到案；不得以任何形式干扰证人作证；不得毁灭、伪造证据或者串供等。
- 如果违反了这些规定，可能会被撤销取保候审，并重新被羁押。
总结与建议：家人被刑拘后，取保候审的批准部门取决于案件所处的阶段。在申请取保候审时，需要了解并满足相关的申请条件，并按照规定的流程进行申请。如果对取保候审的申请流程或条件有疑问，或者需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。我会根据具体情况，为你提供专业的法律建议和帮助。