在刑事拘留后，若犯罪嫌疑人希望取保候审，其批准机关及流程会根据案件所处的不同阶段而有所区别。以下是对这一问题的详细解答：

一、取保候审的批准机关

1. 侦查阶段（刑事拘留后至移送审查起诉前）：

   • 在此阶段，若犯罪嫌疑人符合取保候审条件，其家属或律师需向负责侦查的公安机关提交取保候审申请。
   • 公安机关会综合考虑犯罪嫌疑人的犯罪情节、社会危险性、是否可能实施新的犯罪等因素，来决定是否批准取保候审。
   • 具体批准由县级以上公安机关负责人进行，若批准，会责令犯罪嫌疑人提出保证人或交纳保证金。

2. 审查起诉阶段（公安机关移送人民检察院审查起诉后）：

   • 当案件进入审查起诉阶段，犯罪嫌疑人或其律师可以继续申请取保候审。
   • 人民检察院会根据案件的具体情况，包括犯罪嫌疑人的犯罪情节、认罪态度、社会危害性等，依据法律规定决定是否批准。
   • 审批流程包括办案部门负责人审核后，报请检察长审批决定。对于重大案件，还需经检察委员会讨论决定。

3. 审判阶段（案件移送人民法院审理后）：

   • 在审判阶段，被告人有权申请取保候审。
   • 人民法院会结合案件的事实、证据以及被告人的个人情况等，判断其是否符合取保候审的法定条件，并作出是否准许的决定。
   • 取保候审的批准由院长进行，若批准，同样会责令被告人提出保证人或交纳保证金。

二、取保候审的申请条件

无论案件处于哪个阶段，申请取保候审都需满足以下条件之一：

1. 可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑；
2. 可能判处有期徒刑以上刑罚，但采取取保候审不致发生社会危险性；
3. 犯罪嫌疑人患有严重疾病、生活不能自理，或者怀孕或正在哺乳自己婴儿的妇女，且不致发生社会危险性；
4. 羁押期限届满，案件尚未办结，需要取保候审的。

三、取保候审期间的义务

取保候审并不意味着犯罪嫌疑人或被告人可以完全自由。他们必须遵守一系列规定，如不得离开所居住的市、县，住址、工作单位和联系方式变动需及时报告，以及按司法机关要求参加相关活动等。同时，需提供保证人或者交纳保证金来确保其遵守这些规定。

四、特殊情况

对于担任县级以上各级人民代表大会代表的犯罪嫌疑人，决定采取取保候审等强制措施时，需要报请该代表所属的人民代表大会主席团或者常务委员会许可。

综上所述，刑事拘留后取保候审的批准机关根据案件所处的不同阶段分别由公安机关、人民检察院和人民法院负责。每个阶段都有其特定的审批流程和考虑因素。在实际操作中，应严格遵循相关法律法规，确保取保候审制度的正确实施。如有任何疑问或需要法律帮助，请咨询专业律师或法律机构。