结论前置：劳务派遣工被单位辞退时，赔偿责任的确定需依据具体辞退原因，可能涉及用工单位和劳务派遣单位。赔偿标准严格按照《劳动合同法》等相关法律规定执行，赔偿索取应通过明确主体、协商解决、劳动仲裁和诉讼等途径进行。
一、赔偿责任确定
用工单位存在过错的情况：
- 若劳务派遣工因用工单位的原因（如业务调整、订单减少等经济性原因或无正当理由随意辞退）被辞退，用工单位需承担主要责任。此时，劳务派遣工有权向用工单位主张经济补偿或赔偿金。劳务派遣单位若未尽到监督和保障责任，也需承担连带赔偿责任。
- 举例：比如用工单位因市场变化，决定缩减规模，不再需要劳务派遣工，此时用工单位应承担辞退责任，劳务派遣工可向用工单位索赔。
劳务派遣工自身存在法定过错情形：
- 若劳务派遣工存在《劳动合同法》第三十九条规定的严重违反规章制度、失职舞弊等情形，用工单位可以依法将其退回劳务派遣单位，且无需支付经济补偿或赔偿金。劳务派遣单位也可据此与劳务派遣工解除劳动合同。
- 举例：劳务派遣工在工作期间严重违反用工单位的规章制度，如多次迟到早退、旷工等，用工单位可将其退回劳务派遣单位，且无需赔偿。
用工单位因客观情况发生重大变化等合法辞退的情况：
- 若用工单位因企业搬迁、技术革新等客观情况发生重大变化导致劳动合同无法履行，且经协商未能就变更劳动合同内容达成协议，用工单位可以将劳务派遣工退回劳务派遣单位。此时，劳务派遣单位应根据具体情况对劳务派遣工进行重新派遣或解除劳动合同并支付相应的经济补偿。
- 举例：用工单位因环保要求需要搬迁至其他城市，导致与劳务派遣工的劳动合同无法继续履行，且双方无法就变更劳动合同达成一致，此时用工单位可将劳务派遣工退回劳务派遣单位，由劳务派遣单位处理后续事宜。
劳务派遣单位原因辞退：
- 若劳务派遣工因劳务派遣单位自身经营问题或违反法律法规规定解除劳动合同等原因被辞退，劳务派遣单位需承担赔偿责任。劳务派遣工应向劳务派遣单位索取经济补偿或赔偿金。
- 举例：劳务派遣单位因经营不善决定裁员，此时劳务派遣工应向劳务派遣单位索赔。
二、赔偿标准
- 根据《劳动合同法》等相关法律规定，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算：
- 每满一年支付一个月工资的经济补偿；
- 六个月以上不满一年的，按一年计算；
- 不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
- 若用工单位或劳务派遣单位违法解除劳动合同，则需按照经济补偿标准的二倍向劳务派遣工支付赔偿金。
计算公式：
- 经济补偿金 = 工作年限 × 月工资（工作年限满一年按一个月计算，六个月以上不满一年按一年计算，不满六个月按半个月计算）
- 赔偿金 = 经济补偿金 × 2
三、赔偿索取流程
- 明确赔偿主体：根据辞退原因确定是向用工单位还是劳务派遣单位索取赔偿，或两者均需承担责任。
- 协商解决：首先尝试与赔偿主体进行友好协商，提出合理的赔偿要求。
- 申请劳动仲裁：若协商无果，劳务派遣工可向劳动争议仲裁委员会提交仲裁申请，请求裁决赔偿主体承担相应责任。
- 提起诉讼：对仲裁结果不服的，劳务派遣工可在规定期限内向法院提起诉讼，通过司法途径维护自身合法权益。
四、注意事项
- 劳务派遣工在维护自身权益时，应收集相关证据，如工作证、考勤记录、工资支付记录等，以证明与用工单位和劳务派遣单位的关系及工作时长、工资待遇等情况。
- 若与用工单位或劳务派遣单位在补偿问题上存在争议，可通过协商、调解、仲裁或诉讼等方式解决。
综上所述，劳务派遣工在被用工单位辞退后，应明确辞退原因及赔偿主体，按照法律规定的赔偿标准和索取流程来维护自身权益。在索赔过程中，可依次尝试协商、劳动仲裁和诉讼等途径来确保获得应有的赔偿。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。