私刻单位公章，单位确实有权开除该员工，但具体是否开除还需根据单位规章制度、员工行为严重性以及造成的后果等多方面因素综合判断。以下从不同角度为你详细分析：
一、法律层面
公章的法律效力：
- 公章是单位行使职权、对外开展活动的重要凭证，具有法律效力。私刻公章属于违法行为，可能构成伪造公司、企业、事业单位、人民团体印章罪，根据《中华人民共和国刑法》第二百八十条的规定，可处三年以下有期徒刑、拘役、管制或者剥夺政治权利，并处罚金。
员工行为的性质：
- 员工私刻单位公章，不仅违反了法律法规，也严重违反了单位的规章制度和职业道德。这种行为可能给单位带来严重的法律风险和经济损失，如合同纠纷、法律责任承担等。
单位的开除权：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条的规定，劳动者严重违反用人单位的规章制度的，用人单位可以解除劳动合同。私刻公章无疑属于严重违反单位规章制度的行为，因此单位有权开除该员工。
二、单位规章制度层面
规章制度的制定：
- 单位应制定完善的规章制度，明确禁止员工私刻公章等违法行为，并规定相应的处罚措施，包括开除等。
规章制度的执行：
- 当员工违反规章制度时，单位应依据规章制度进行处罚。如果规章制度中明确规定了私刻公章属于开除情形，且该规章制度已经向员工公示或告知，那么单位有权依据规章制度开除该员工。
三、实际操作层面
调查取证：
- 单位在发现员工私刻公章后，应首先进行调查取证，确认员工的行为事实、严重程度以及造成的后果等。
内部处理程序：
- 单位应按照内部处理程序，如召开职工代表大会或工会会议等，对员工的行为进行审议和决定。如果决定开除，应制作书面开除决定，并告知员工。
法律风险防范：
- 单位在开除员工时，应注意防范法律风险。如确保开除决定有充分的证据支持、符合法律法规和单位规章制度的规定等。同时，单位还应考虑是否需要向公安机关报案，追究员工的刑事责任。
四、特殊情况考虑
员工行为动机：
- 在某些特殊情况下，如员工私刻公章是为了单位利益（但这种行为仍然违法且不可取），单位在决定是否开除时可能会考虑员工的动机和后果等因素。但这种情况极为罕见，且不能成为免除法律责任的理由。
员工认错态度：
- 如果员工在私刻公章后能够主动承认错误、积极配合调查并采取措施弥补损失等，单位在决定是否开除时可能会考虑员工的认错态度和悔改表现。但这并不意味着单位一定会选择不开除，而是作为综合判断的一个因素。
总结与建议：私刻单位公章是严重的违法行为，单位有权依据法律法规和规章制度开除该员工。但具体是否开除还需根据多方面因素综合判断。作为员工，应严格遵守法律法规和单位规章制度，切勿以身试法；作为单位，应制定完善的规章制度并加强员工教育和管理，防范类似事件的发生。如果你或你所在的单位遇到此类问题，可以直接向我咨询，我会根据具体情况为你提供专业的法律建议。