结论前置：医院以职工找院长反映科室不安排法定节假日休息问题为由将其开除，职工可以通过申请劳动仲裁、提起诉讼等途径维权，要求医院支付违法解除劳动合同的赔偿金，若存在未支付法定节假日加班工资的情况，还可要求医院支付相应加班工资。以下是具体分析：
医院开除行为的合法性分析
- 从解除劳动合同的法定事由来看
- 根据《劳动合同法》规定，用人单位解除劳动合同必须有法定事由，如劳动者严重违反用人单位的规章制度、严重失职给用人单位造成重大损害、被依法追究刑事责任等。职工找院长反映科室不安排法定节假日休息的问题，这是职工依法维护自身合法权益的行为，不属于用人单位可以解除劳动合同的法定事由。
- 如果医院没有合法合理的解除依据，那么其开除职工的行为就属于违法解除劳动合同。
- 从医院规章制度的角度来看
- 即使医院有相关的规章制度，但该规章制度必须经过民主程序制定（如经职工代表大会或者全体职工讨论，提出方案和意见，与工会或者职工代表平等协商确定），并且已经向劳动者公示或者告知。如果医院的规章制度没有经过这些程序，或者职工并不知晓该制度内容，那么以此为依据开除职工也是不合法的。
维权途径及可主张的权益
- 申请劳动仲裁
- 程序：职工可以在知道或者应当知道自己的权益被侵害之日起一年内，向劳动合同履行地或者用人单位所在地的劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁。需要提交仲裁申请书、身份证复印件、与医院存在劳动关系的证据（如劳动合同、工作证、工资条等）以及医院开除职工的相关证据（如开除通知、解除劳动合同证明等）。
- 可主张的权益
- 违法解除劳动合同的赔偿金：根据《劳动合同法》规定，用人单位违法解除劳动合同的，应当按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 法定节假日加班工资：如果职工在法定节假日被安排加班，医院未按照规定支付加班工资（法定节假日加班工资为不低于工资的百分之三百的工资报酬），职工可以要求医院支付相应的加班工资。
- 提起诉讼
- 程序：如果职工对劳动仲裁裁决不服，可以在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。需要准备起诉状、仲裁裁决书以及相关证据材料。
- 可主张的权益：与申请劳动仲裁时可主张的权益相同，即违法解除劳动合同的赔偿金和法定节假日加班工资。如果法院认为医院的开除行为违法，会判决医院支付相应的赔偿金和加班工资。
维权过程中的注意事项
- 证据收集：职工要注意收集和保存与医院存在劳动关系、医院不安排法定节假日休息、医院开除自己等相关证据，这些证据是维权的关键。
- 及时行动：劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，职工要在规定的时效内申请仲裁，以免自己的权益得不到保障。
- 寻求帮助：在维权过程中，职工如果遇到法律问题或者不清楚如何操作，可以随时向我咨询，我会为你提供详细的法律指导和帮助。