医务人员没休的法定假日医院不允许补休，可以向当地的劳动保障监察部门申诉，也可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。以下从不同角度为你详细分析：
法律背景与依据
根据《中华人民共和国劳动法》的相关规定，劳动者在法定休假日和婚丧假期间以及依法参加社会活动期间，用人单位应当依法支付工资。同时，对于因工作需要不能安排劳动者休假的，用人单位应当按照法律规定支付加班工资或者安排补休。对于医务人员而言，虽然其工作性质特殊，经常需要在节假日值班，但这并不意味着医院可以无视其休息权和获得相应报酬的权利。
申诉途径
劳动保障监察部门：
- 这是负责监督用人单位遵守劳动保障法律法规的专门机构。
- 你可以向当地的劳动保障监察部门投诉，说明医院未安排补休且未支付加班工资的情况。
- 劳动保障监察部门会进行调查，并根据调查结果对医院进行相应的处理，如责令支付加班工资、安排补休等。
劳动争议仲裁委员会：
- 如果你与医院之间的争议无法通过协商解决，你可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
- 仲裁委员会会依法受理你的仲裁申请，并组织双方进行调解或裁决。
- 如果仲裁结果支持你的诉求，医院必须履行裁决结果，否则你可以向人民法院申请强制执行。
注意事项与建议
保留证据：
- 在申诉或申请仲裁前，务必保留好相关证据，如工作记录、排班表、工资条等，以证明医院未安排补休且未支付加班工资的事实。
了解程序：
- 在申诉或申请仲裁前，建议先了解相关的程序和要求，以便更好地维护自己的权益。
- 你可以咨询当地的劳动保障监察部门或劳动争议仲裁委员会，获取更详细的信息和指导。
寻求法律援助：
- 如果你对法律程序不熟悉或感到困惑，可以寻求法律援助或咨询专业律师（比如我，郭煜雷律师，专注于合同纠纷、经济纠纷、离婚、劳动纠纷、法律顾问领域，有问题可以直接向我咨询）。
- 律师可以为你提供专业的法律意见和帮助，确保你的权益得到充分维护。
可能的法律后果
如果医院被证实存在未安排补休且未支付加班工资的行为，根据《中华人民共和国劳动法》的相关规定，医院可能面临以下法律后果：
- 被责令支付加班工资和相应的经济补偿；
- 被处以罚款或其他行政处罚；
- 如果情节严重，还可能面临更严厉的法律制裁。
综上所述，医务人员没休的法定假日医院不允许补休时，你可以通过向劳动保障监察部门申诉或向劳动争议仲裁委员会申请仲裁来维护自己的权益。在申诉或申请仲裁前，请务必保留好相关证据并了解相关程序和要求。如有需要，可以寻求法律援助或咨询专业律师。