结论：儿子能否不用公证直接取出老人4万元定期存款，需分情况讨论，主要取决于存款的继承方式及银行的具体规定。

1. 若老人留有有效遗嘱且指定儿子为唯一继承人：

   • 在这种情况下，理论上儿子作为遗嘱继承人，有权继承老人的存款。但实际操作中，银行为了保障资金安全，避免后续纠纷，通常会要求继承人提供遗嘱原件、死亡证明、亲属关系证明等文件，并可能要求所有法定继承人（如配偶、其他子女等）共同到场确认或签署放弃继承声明。若银行政策允许且文件齐全，可能无需公证即可办理取款。但多数情况下，银行仍会建议或要求进行公证，以确保手续的完备性。

2. 若老人未留遗嘱，按法定继承处理：

   • 根据《中华人民共和国民法典》继承编的规定，法定继承中，第一顺序继承人包括配偶、子女、父母。因此，老人的存款将由其配偶、子女（包括儿子）及父母共同继承。在此情况下，儿子无法单独取出存款，除非其他法定继承人明确表示放弃继承权。
   • 为了顺利取出存款，通常需要所有法定继承人共同到银行办理继承手续，或提供经公证的继承权证明书。公证是证明继承权的一种有效方式，可以确保继承过程的合法性和有效性，减少后续纠纷。

3. 银行具体规定的影响：

   • 不同银行对于存款继承的手续要求可能存在差异。有些银行可能对于小额存款（如4万元）有相对简化的处理流程，但大多数银行仍会遵循较为严格的规定，要求提供充分的继承权证明文件，包括但不限于死亡证明、亲属关系证明、继承权公证书等。

建议：

• 儿子应首先与其他法定继承人（如配偶、其他子女、父母等）沟通，明确继承意愿，并尝试共同办理继承手续。
• 若其他继承人无法到场或放弃继承权，建议儿子前往公证处办理继承权公证书，以证明其继承权，然后凭公证书及其他必要文件到银行办理取款手续。
• 在办理过程中，儿子应详细咨询银行的具体要求，并准备好所有需要的文件，以确保手续的顺利进行。

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