结论前置：即使没有签订书面劳动合同，只要存在事实劳动关系，您与公司之间仍然构成劳动雇佣关系。

一、事实劳动关系的认定

根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关规定，劳动关系的建立并不完全依赖于书面劳动合同的签订。只要双方实际履行了劳动权利和义务，即存在事实劳动关系。具体来说，如果满足以下条件，即可认定存在事实劳动关系：

1. 劳动者实际提供了劳动：您已经为公司工作了半年，这表明您实际提供了劳动。
2. 劳动者接受用人单位的管理：如果您在工作中接受公司的管理、指挥和监督，这进一步证明了劳动关系的存在。
3. 劳动者从事的工作是用人单位业务的组成部分：如果您所从事的工作是公司业务的一部分，这也是认定劳动关系的重要因素。

二、未签劳动合同的法律后果

虽然未签订书面劳动合同不影响劳动关系的认定，但公司未与您签订书面劳动合同的行为违反了法律规定。根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条：“用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。”因此，您有权要求公司支付未签劳动合同期间的双倍工资差额。

三、建议与行动步骤

1. 收集证据：为了证明您与公司之间存在事实劳动关系，建议您收集以下证据：

   • 工作证、工作服等能够证明您身份的物品；
   • 工资支付记录、银行转账记录等能够证明您领取工资的证据；
   • 考勤记录、工作记录等能够证明您实际提供劳动的证据；
   • 与公司管理人员或同事的聊天记录、邮件等能够证明您接受公司管理的证据。

2. 与公司协商：在收集到足够证据后，您可以先尝试与公司协商，要求公司承认劳动关系并支付未签劳动合同期间的双倍工资差额。

3. 申请劳动仲裁：如果协商无果，您可以向当地劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，要求确认劳动关系并支付双倍工资差额。在申请劳动仲裁时，您需要提交相关证据和仲裁申请书。

4. 寻求法律援助：如果您在劳动仲裁过程中遇到困难或需要进一步的法律帮助，可以随时向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议和支持。

四、注意事项

• 时效性：请注意，申请劳动仲裁有一定的时效限制，一般为一年。因此，建议您在发现公司未签劳动合同后尽快采取行动。
• 保留证据：在整个过程中，请务必保留好所有相关证据，以便在需要时提供证明。

希望以上解答能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。