当教师考上其他事业编并希望解除现有的教师编制聘用制合同时，通常需要遵循一定的流程和规定。以下是根据您提供的信息以及一般的事业单位人事管理规定，为您详细解答的步骤：

一、了解相关法律法规和政策

首先，您需要了解并熟悉相关的法律法规和政策，包括但不限于《事业单位人事管理条例》（国务院令第652号）、《关于在事业单位试行人员聘用制度的意见》（国办发〔2002〕35号）以及您所在地区或单位的具体实施办法（如《湖北省事业单位实施聘用合同制暂行办法》等）。这些文件将为您提供解除聘用关系的法律依据和操作流程。

二、提交书面申请

接下来，您需要以书面形式向当前用人单位（即您所在的学校或教育机构）提交解除聘用关系的申请。在申请中，您应明确说明解除聘用关系的原因（如考上其他事业编），并表达您的意愿和决心。同时，请确保申请中包含您的个人信息、聘用合同的基本情况以及您希望解除聘用关系的具体日期。

三、与用人单位协商

提交申请后，您需要与用人单位进行协商，就解除聘用关系的具体事宜达成一致意见。这可能包括解除聘用关系的日期、工资结算、福利待遇处理、档案及社会保险关系转移接续等事项。在协商过程中，请保持积极、理性的态度，并尽量与用人单位达成共识。

四、获得用人单位同意并报批

经过协商后，如果用人单位同意您解除聘用关系，那么您需要获得用人单位的正式同意，并按照相关规定报请上级主管部门或人力资源和社会保障部门批准。这一步骤可能因地区或单位的不同而有所差异，但通常需要提交一些必要的文件和资料，如解除聘用关系申请书、用人单位同意书、聘用合同等。

五、办理相关手续

在获得批准后，您需要按照用人单位的要求办理相关手续，包括但不限于工资结算、福利待遇处理、档案及社会保险关系转移接续等。请确保您按照规定的流程和时间节点完成这些手续，以免给自己带来不必要的麻烦。

六、注意事项

1. 提前了解政策：在提交申请前，请务必提前了解并熟悉相关的政策法规和操作流程，以确保您的申请能够顺利得到批准。
2. 保持沟通：在整个过程中，请与用人单位保持密切的沟通，及时了解进展情况并解决问题。
3. 遵守规定：请严格遵守相关的法律法规和政策规定，不要采取任何违法或违规的行为来解除聘用关系。

示例参考

以您提供的郧西县教育局的公告为例，教师华依和李鑫同志都是因个人原因书面申请与用人单位解除聘用关系，并依据相关法律法规和政策获得了批准。在公告中，明确列出了他们的个人信息、解除聘用关系的日期以及相关的批准文件等。这为您提供了一个具体的参考案例。

总之，解除教师编制聘用制合同需要遵循一定的流程和规定。希望以上解答能够对您有所帮助。如果您在操作过程中遇到任何问题或困难，请及时咨询相关部门或专业人士的意见。