结论：公司是否承担员工外出打工发生工伤的责任，需根据具体情况判断，一般来说，若员工外出打工是经公司同意且与公司业务相关，公司很可能需要承担工伤赔偿责任；若与公司业务无关，公司可能无需承担主要责任，但具体情况还需结合法律和事实来分析。
详细分析：
员工外出打工与公司业务相关的情况：
- 法律依据：根据《工伤保险条例》及相关规定，员工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的，应当认定为工伤。若员工外出打工是经公司同意，且是为了完成公司的工作任务或业务，那么在此过程中发生的工伤，公司应当承担相应的赔偿责任。
- 实际案例：例如，员工被公司派往外地出差，在出差期间因工作原因受伤，这种情况显然属于工伤，公司需要承担赔偿责任。
员工外出打工与公司业务无关的情况：
- 法律依据：如果员工外出打工并非为了完成公司的工作任务或业务，而是个人行为，且公司对此并不知情或未同意，那么在此过程中发生的工伤，公司可能无需承担主要责任。但需要注意的是，如果公司存在管理疏忽或未尽到安全保障义务，也可能需要承担一定的补充责任。
- 实际考量：例如，员工利用工作时间私自外出打工，且未告知公司，若在此期间发生工伤，公司可能主张其无需承担责任。但若公司未能提供足够的安全保障措施或未对员工进行必要的安全教育，也可能被认定为存在过错，需要承担部分责任。
特殊情况下的责任划分：
- 第三方责任：如果员工外出打工期间发生的工伤是由第三方造成的，如交通事故等，那么员工还可以向第三方主张赔偿。在这种情况下，公司是否需要承担责任，需根据具体情况和法律规定来判断。
- 员工过错：如果员工在工伤事故中存在过错，如违规操作等，那么根据《工伤保险条例》的规定，员工可能需要承担一定的责任，但这并不影响公司根据法律规定应承担的赔偿责任。
建议与后续行动：
- 及时报案与申请工伤认定：无论公司是否承担责任，员工在发生工伤后都应及时向公司报告，并尽快向当地社会保险行政部门申请工伤认定。
- 收集证据：员工应收集与工伤事故相关的证据，如医疗记录、证人证言等，以便在后续的法律程序中证明自己的权益。
- 咨询专业律师：由于工伤赔偿问题涉及复杂的法律关系和事实认定，建议员工在发生工伤后及时咨询专业律师，以便更好地维护自己的合法权益。
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