结论：公司未在您入职时及时签订劳动合同，而是延迟到2月13日才签订，这一行为确实违反了《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定。

法律背景与解释：

根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条的规定：“建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。”这意味着，从您实际入职（1月2日）开始计算，公司应在一个月内（即最迟应在2月1日前）与您签订书面劳动合同。

公司行为的违法性：

1. 延迟签订：公司未在法定期限内（一个月内）与您签订劳动合同，而是延迟到了2月13日，这明显违反了上述法律规定。

2. 法律后果：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定：“用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。”因此，公司可能需要向您支付从2月2日起至2月13日（或实际签订合同前一日，如果更晚）期间的双倍工资作为赔偿。但具体赔偿期限和金额需根据实际情况和当地劳动仲裁机构的裁决来确定。

建议与行动：

1. 与公司沟通：首先，您可以尝试与公司进行沟通，明确指出公司未按时签订劳动合同的行为违反了法律规定，并要求公司按照法律规定支付相应的赔偿。

2. 收集证据：为了支持您的主张，您需要收集相关证据，如入职通知、工资单、工作证等，以证明您与公司之间存在劳动关系以及入职时间等关键信息。

3. 申请劳动仲裁：如果公司拒绝支付赔偿或双方无法达成一致意见，您可以向当地劳动仲裁机构申请劳动仲裁，要求公司支付未签订劳动合同期间的双倍工资等赔偿。

4. 咨询专业律师：在处理此类纠纷时，咨询专业律师的意见是非常重要的。律师可以根据您的具体情况和当地法律法规，为您提供更详细、更专业的法律建议和帮助。

后续思考：

• 在未来的工作中，建议您注意保留好与公司的沟通记录、工作证据等，以备不时之需。
• 如果公司再次出现类似违法行为，您可以及时采取法律手段维护自己的合法权益。

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