结论：罪犯在暂予监外执行期间脱逃，其脱逃期间的认定主体及后续处理程序，主要依据罪犯是否已交付执行以及执行机关的不同而有所区别。具体来说，交付执行前由人民法院决定相关事宜；交付执行后，则由监狱或看守所提出书面意见，并报相应机关批准，最终由公安机关执行相关措施。
详细分析：
交付执行前的情况：
- 在罪犯被决定暂予监外执行但尚未交付执行前，若出现脱逃情况，此时的责任主体主要是交付执行的人民法院。人民法院需根据法律规定，作出相应的决定，如收监决定，并确保相关法律文书送达至公安机关、监狱或看守所等执行机关，以便这些机关能够依法执行。
交付执行后的情况：
- 对于已经在监狱服刑并暂予监外执行的罪犯，若其在暂予监外执行期间脱逃，此时应由负责管理的监狱提出书面意见，并报省级以上监狱管理机关批准。经批准后，由公安机关依法对罪犯执行收监或其他相关措施。
- 若罪犯是在看守所服刑并暂予监外执行的，脱逃后则由负责管理的看守所提出书面意见，并报设区的市一级以上公安机关批准。同样，经批准后，由公安机关执行相关措施。
脱逃期间的法律后果：
- 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，罪犯在暂予监外执行期间脱逃的，其脱逃期间不计入执行刑期。这意味着，罪犯将因脱逃行为而延长其实际服刑时间。
- 此外，若罪犯的脱逃行为构成新的犯罪，如逃脱罪等，还将受到更严厉的刑事处罚。
执行机关的职责：
- 各执行机关，包括人民法院、监狱、看守所和公安机关等，在罪犯暂予监外执行期间及脱逃后，均应依法履行职责，确保法律的正确实施和罪犯的合法权益。这包括及时作出决定、提出书面意见、报请批准以及执行相关措施等。
法律建议：
- 对于罪犯而言，应严格遵守暂予监外执行的相关规定和要求，避免脱逃等违法行为的发生。否则，将面临更严厉的法律后果，包括延长服刑时间和构成新罪等。
- 对于执行机关而言，应加强对罪犯的监管和管理，确保暂予监外执行制度的正确实施。同时，在发现罪犯脱逃等违法行为时，应及时采取措施并依法处理。
进一步思考：
- 在实践中，如何更有效地防止罪犯在暂予监外执行期间脱逃，是一个值得深入探讨的问题。这可能涉及到加强监管措施、提高罪犯的守法意识、完善相关法律法规等多个方面。
- 另外，对于脱逃后罪犯的追捕和收监工作，也需要各执行机关之间的密切配合和高效协作。这有助于确保法律的正确实施和维护社会的公平正义。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。