结论：甲方雇佣乙方半天班两年未签合同，解雇乙方时，乙方有权要求甲方支付未签书面劳动合同的双倍工资差额（最多11个月）、经济补偿金，并可要求补缴社保；若甲方违法解除劳动关系，乙方还可主张赔偿金。具体分析如下：

一、未签书面劳动合同的法律责任

根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过1个月不满1年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付双倍工资（扣除已支付部分）。

• 计算方式：乙方工作2年，可主张11个月的双倍工资差额（第2个月至第12个月）。
  
• 时效限制：需在知道权利被侵害之日起1年内申请劳动仲裁（例如，从工作满1年起算1年）。

二、解雇的合法性及经济补偿/赔偿

1. 若甲方合法解除劳动关系（如乙方存在严重违纪、不能胜任工作等法定情形）：

   • 甲方需支付经济补偿金：按乙方工作年限，每满1年支付1个月工资（2年=2个月工资）。
     
   • 月工资标准：以乙方离职前12个月的平均工资（含奖金、津贴等）计算。

2. 若甲方违法解除劳动关系（如无合法理由随意解雇）：

   • 乙方可主张赔偿金：经济补偿金的2倍（即4个月工资）。
     
   • 举证责任：乙方需证明甲方解除行为违法（如无书面解雇通知、无合法理由等）。

三、社保缴纳问题

根据《社会保险法》，用人单位必须为劳动者缴纳社保。若甲方未缴纳，乙方可要求：

1. 补缴工作期间的社保（需向社保部门投诉）；
   
2. 若因未缴社保导致损失（如医疗费、失业金等），可要求甲方赔偿。

四、实务建议

1. 收集证据：
   
   • 证明劳动关系：工资转账记录、工作证、考勤记录、同事证言等；
     
   • 证明工作年限：入职通知、工作邮件、聊天记录等；
     
   • 证明解雇事实：解雇通知、录音、聊天记录等。
     
2. 协商或仲裁：
   
   • 优先与甲方协商赔偿；
     
   • 协商不成，可在1年内向劳动仲裁委申请仲裁（免费）。
     
3. 注意时效：双倍工资差额、经济补偿等请求均受1年仲裁时效限制，需尽快行动。

提示：劳动关系认定是关键，若甲方否认劳动关系（如主张是劳务关系），乙方需通过证据证明存在“人身从属性”（如受甲方管理、按甲方要求工作等）。如有疑问，可进一步提供细节，我会为您详细分析。