结论：在劳动合同到期未续签但员工仍在工作的情况下，公司要辞退员工而员工希望继续签订劳动合同，这涉及多个法律层面的问题。员工有权要求公司继续签订劳动合同，若公司不同意，员工可依法主张相应的权益。
一、事实劳动关系的认定
劳动合同期满后，若员工仍在原公司工作且公司未提出异议，根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关司法解释，这视为双方同意以原条件继续履行劳动合同，即形成事实劳动关系。在此期间，员工享有与正常劳动合同关系下相同的劳动权益，包括但不限于工资、福利、社会保险等。
二、公司辞退行为的合法性分析
合法辞退：
- 若公司能证明员工存在严重违反公司规章制度、严重失职、营私舞弊给公司造成重大损害等《劳动合同法》第三十九条规定的可解除劳动合同的法定情形，并且提供充分证据支持，其辞退行为可能合法，无需支付经济补偿。但在此情况下，公司仍需遵循法定程序，如提前通知员工、听取员工申辩等。
违法辞退：
- 若公司无上述法定理由而随意辞退员工，如仅因经营方向调整或岗位需求变化，未与员工协商一致即直接辞退，则构成违法解除劳动关系。在此情况下，员工有权要求公司支付赔偿金。
三、员工可主张的权益
要求继续签订劳动合同：
- 员工有权要求公司继续签订劳动合同，以维护自己的劳动权益。若公司拒绝，员工可通过法律途径主张自己的权利。
经济补偿或赔偿金：
- 若公司合法辞退员工且符合支付经济补偿情形的（如合同到期公司不续签），公司应按员工工作年限支付经济补偿。经济补偿的计算公式为：经济补偿 = 工作年限 × 月工资（月工资是指员工在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资）。
- 若公司违法辞退员工，员工可要求公司支付赔偿金，标准为经济补偿的二倍。即：赔偿金 = 2 × 经济补偿 = 2 × 工作年限 × 月工资。
未签书面劳动合同的双倍工资差额：
- 合同到期后未续签但继续工作的，从合同到期次月起，员工可要求公司支付双倍工资差额，最多可主张11个月。但需注意仲裁时效问题，一般应在知道或应当知道权利被侵害之日起一年内提出仲裁申请。
四、维权途径与建议
协商解决：
- 首选与公司友好协商，明确法律依据，争取合理补偿或赔偿，以及继续签订劳动合同的机会。
证据收集：
- 在整个过程中，员工应妥善收集和保留相关证据，如劳动合同、工资条、工作证、考勤记录、辞退通知等，以备后续维权使用。
劳动监察投诉：
- 协商不成时，可向当地劳动监察部门投诉，由其对公司违法行为进行调查处理。
劳动仲裁：
- 若投诉无果，员工可直接向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，通过法律程序维权。仲裁裁决具有法律效力，公司不履行时可向法院申请强制执行。
诉讼：
- 对仲裁结果不满意时，员工可在规定时间内向人民法院提起诉讼，通过司法途径进一步维护自身权益。
五、特殊情况考虑
- 若员工希望继续签订劳动合同，但公司坚持辞退且拒绝支付任何补偿或赔偿，员工应坚决通过法律途径维护自己的权益。
- 在维权过程中，员工应保持冷静和理性，避免与公司发生不必要的冲突和纠纷。
作为阚勇律师，我建议你根据自身情况选择合适的维权途径，并注重证据的收集和保留。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。